Question

Площадь прямоугольного треугольника равна 90 см². Сумма квадратов его катетов равна 396 см². Чему равны длины его катетов? Решение обязательно через систему!!!

Answer 1

1/2 a*b = 90
а^2 + b^2 = 369

Выразим а из первого уравнения и подставим во второе а = 180/b
32400/b^2 + b^2 = 369
Приведем к общему знаменателю и приведем подобные
32400 + b^4 = 369b^2
b^4 - 369b^2 + 32400 = 0

Пусть b^2 = t , тогда 
t^2 - 369t - 32400 = 0
D= 136161 - 4*32400 = 6561
√D = 81
t1 = (369 + 81)/2 = 225
t2 = (369 - 81)/2 = 144

Тогда b1=15, b2=12
При b = 15 а =180/15 = 12
При b = 12 а =180/12 = 15

Ответ:
15 и 12,
12 и 15

Answer 2

Давайте решим задачу, используя систему уравнений. Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника как a и b.

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

1. Площадь прямоугольного треугольника равна 90 см²: (1/2) * a * b = 90

2. Сумма квадратов катетов равна 396 см²: a² + b² = 396

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Мы можем решить ее, применив методы алгебры. Разрешим первое уравнение относительно a:

a = (180 / b)

Подставим это значение во второе уравнение:

(180 / b)² + b² = 396

Раскроем скобки:

(32400 / b²) + b² = 396

Умножим оба члена уравнения на b², чтобы избавиться от знаменателя:

32400 + b⁴ = 396b²

Теперь у нас есть уравнение четвертой степени относительно b. Мы можем решить его путем замены переменной. Обозначим b² как x:

32400 + x² = 396x

Перенесем все члены в одну сторону:

x² - 396x + 32400 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно x. Мы можем решить его с помощью квадратного корня или формулы дискриминанта, но здесь мы воспользуемся факторизацией:

(x - 360)(x - 90) = 0

Получаем два возможных значения x:

1. x - 360 = 0 => x = 360
2. x - 90 = 0 => x = 90

Теперь найдем значения b, используя полученные значения x:

1. b² = 360 => b = √360 ≈ 18.97
2. b² = 90 => b = √90 ≈ 9.49

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны приблизительно 18.97 см и 9.49 см.