Question

При каких значениях m и n, связанных со отношением m+n=1 выражение 4m2+2mn-n2 принимает наименьшее значение?

Answer 1

N= 1-m, подставим это в выражение, получим:
$4 m^{2} +2m(1-m) -(1-m) ^{2} = 4m ^{2} +2m-2 m^{2} -1+2m- m^{2} =$
= $m^{2} +4m-1$
Графически это парабола, ветками вверх, поэтому наименьшее значение в вершине
$m_{0} = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2} =-2$
Наименьшее значение при m= - 2            n = 1-(-2)=3

Answer 2

Для нахождения минимального значения выражения 4m^2+2mn-n^2, нужно найти его частные производные по m и n и приравнять их к нулю:

∂(4m^2+2mn-n^2)/∂m = 8m + 2n = 0 ∂(4m^2+2mn-n^2)/∂n = 2m - 2n = 0

Отсюда можно выразить n через m и подставить в уравнение m+n=1:

n = m m + n = 1 m + m = 1 m = 1/2 n = 1/2

Таким образом, минимальное значение выражения достигается при m = 1/2 и n = 1/2. Подставляя эти значения в исходное выражение, получаем:

4m^2+2mn-n^2 = 4(1/2)^2 + 2(1/2)(1/2) - (1/2)^2 = 1/2

Ответ: выражение принимает наименьшее значение 1/2 при m = 1/2 и n = 1/2.