Question

Похідна добутку і частки двох функцій: 1) у=(х2-1)(х3+х) 2) у=2х2+1 / х2-1 3) у=х-1 / х+1 + х+1 / х-1 Допоможіть розв'язати

Answer 1

1) y = (x² - 1)(x³ + x)
y ' = (x² - 1)' * (x³ + x ) + (x² - 1) * ( x³ + x)' = 2x(x³ + x) + (x² - 1)(3x² + 1) =
= 2x⁴ + 2x² + 3x⁴ + x² - 3x² - 1 = 5x⁴ - 1

2) $y=\frac{2 x^{2} +1}{ x^{2} -1}\\\\y'= \frac{(2 x^{2} +1)'*( x^{2} -1)-(2 x^{2} +1)( x^{2} -1)'}{ (x^{2} -1) ^{2} } = \frac{4x( x^{2} -1)-2x(2 x^{2} +1)}{( x^{2} -1) ^{2} }=$ $\frac{4 x^{3} -4x-4 x^{3}-2x }{( x^{2} -1) ^{2} }= -\frac{6x}{( x^{2} -1) ^{2} }$

3) $y= \frac{x-1}{x+1} + \frac{x+1}{x-1} = \frac{(x-1) ^{2} +(x+1) ^{2} }{ x^{2} -1} = \frac{ x^{2} -2x+1+ x^{2}+2x+1 }{ x^{2} -1} = \frac{2 x^{2} +2}{ x^{2} -1}\\\\y'= \frac{(2 x^{2} +2)'*( x^{2} -1)-(2 x^{2} +2)*( x^{2} -1)'}{( x^{2} -1) ^{2} }= \frac{4x( x^{2} -1)-2x(2 x^{2} +2)}{( x^{2} -1) ^{2} } =$ $\frac{4 x^{3}-4x-4 x^{3} -4x }{( x^{2} -1) ^{2} } =- \frac{8x}{( x^{2} -1) ^{2} }$

Answer 2

Щоб знайти похідну добутку або частки двох функцій, можна скористатися правилами диференціювання. Давайте розв'яжемо кожен приклад окремо.

1. У = (х^2 - 1)(х^3 + х) Для розв'язання цього прикладу, використаємо правило диференціювання добутку: d(у)/d(х) = (х^2 - 1) * d(х^3 + х)/d(х) + (х^3 + х) * d(х^2 - 1)/d(х)

   Знайдемо похідні окремо: d(х^3 + х)/d(х) = 3х^2 + 1 d(х^2 - 1)/d(х) = 2х

   Підставимо ці значення у формулу: d(у)/d(х) = (х^2 - 1)(3х^2 + 1) + (х^3 + х)(2х)

   Залишається спростити це вираз, якщо потрібно.

2. У = (2х^2 + 1)/(х^2 - 1) Для розв'язання цього прикладу, використаємо правило диференціювання частки: d(у)/d(х) = (d(2х^2 + 1)/d(х) * (х^2 - 1) - (2х^2 + 1) * d(х^2 - 1)/d(х))/(х^2 - 1)^2

   Знайдемо похідні окремо: d(2х^2 + 1)/d(х) = 4х d(х^2 - 1)/d(х) = 2х

   Підставимо ці значення у формулу: d(у)/d(х) = (4х * (х^2 - 1) - (2х)(2х^2 + 1))/(х^2 - 1)^2

   Залишається спростити це вираз, якщо потрібно.

3. У = (х - 1)/(х + 1) + (х + 1)/(х - 1) Для розв'язання цього прикладу, використаємо правило диференціювання суми: d(у)/d(х) = d((х - 1)/(х + 1))/d(х) + d((х + 1)/(х - 1))/d(х)

   Знайдемо похідні окремо: d((х - 1)/(х + 1))/d(х) = [(d(х - 1)/d(