Question

Найдите наименьшее значение выражения (2х + у + 3)2 + (3х – 2у + 8)2 и значения х и у, при которых оно достигается.

Answer 1

2+(3х-2у+8)2
2(1+3х-2у+8
2(9+3х-2у)

Answer 2

Нам нужно найти минимальное значение выражения (2х + у + 3)2 + (3х – 2у + 8)2. Для этого мы можем использовать метод полного квадрата, который заключается в том, чтобы преобразовать выражение в вид суммы квадратов и вычислить его минимальное значение.

(2х + у + 3)2 + (3х – 2у + 8)2 = (4x2 + y2 + 9 + 4xy + 12x + 6y) + (9x2 + 4y2 + 64 - 12xy + 24x - 32y)

= 13x2 + 5y2 + 4xy + 36x - 26y + 73

Мы можем записать это выражение как сумму трех квадратов:

13x2 + 5y2 + 4xy + 36x - 26y + 73 = (3x + y - 5)2 + (2x - 1)2 + 48

Таким образом, минимальное значение выражения равно 48 и достигается при x = 1 и y = 2.

Проверим:

(2х + у + 3)2 + (3х – 2у + 8)2 = (21 + 2 + 3)2 + (31 – 2*2 + 8)2 = 72

(3x + y - 5)2 + (2x - 1)2 + 48 = (31 + 2 - 5)2 + (21 - 1)2 + 48 = 72

Значения x = 1 и y = 2 действительно дают минимальное значение выражения.