Question

Упростить выражение: 1) b¹/⁵(⁵√b⁴ - ⁵√b⁻¹) / b²/³(∛b - ∛b⁻²) (¹/⁵-это дробная степень) 2)∛a - ∛b / ⁶√a - ⁶√b

Answer 1

$1) \; \frac{b^\frac{1}{5}(\sqrt[5]{b^4} - \sqrt[5]{b^{-1}})}{b^{\frac{2}{3}}(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{b^{-2}})}=\frac{b^{\frac{1}{5}+\frac{4}{5}-\frac{1}{5}}}{b^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}}}=\frac{b^{\frac{4}{5}}}{b^{\frac{1}{3}}}=b^{\frac{4}{5}-\frac{1}{3}}=b^{\frac{7}{15}}=\sqrt[15]{b^7};$

$2) \; \frac{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} }{ \sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}= \frac{(\sqrt[3]{a})^2-(\sqrt[3]{b})^2 }{ \sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}= \frac{\sqrt[6]{a^2}-\sqrt[6]{b^2} }{ \sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}=\frac{(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b})}{ \sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}=\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}$

Answer 2

Давайте упростим каждое выражение по отдельности:

1. Для начала заметим, что b^1/5/b^2/3 = b^(1/5 - 2/3) = b^(-7/15). Затем, используя свойства корней, мы можем упростить корни в числителе и знаменателе:

(5√b^4 - 5√b^(-1)) / (b^(-7/15)(∛b - ∛b^(-2)))

В числителе у нас есть 5√b^4 - 5√b^(-1). Заметим, что 5√b^4 = 5√(b^(4/5)) = 5(b^(4/5))^(1/5) = 5b^(4/25). Аналогично, 5√b^(-1) = 5(b^(-1/5))^(-1/5) = 5b^(-1/25)^(-1/5) = 5b^(-1/125). Таким образом, числитель равен 5b^(4/25) - 5b^(-1/125).

В знаменателе у нас b^(-7/15)(∛b - ∛b^(-2)). Заметим, что ∛b = (b^(1/3))^(1/3) = b^(1/9). Аналогично, ∛b^(-2) = (b^(-2/3))^(1/3) = b^(-2/9). Таким образом, знаменатель равен b^(-7/15)(b^(1/9) - b^(-2/9)).

Теперь мы можем сократить b в числителе и знаменателе:

(5b^(4/25) - 5b^(-1/125)) / (b^(-7/15)(b^(1/9) - b^(-2/9)))

= (5b^(4/25 - 1) - 5b^(-1/125 - 1)) / (b^(-7/15 + 1/9) - b^(-7/15 - 2/9))

= (5b^(-21/125) - 5b^(-126/125)) / (b^(-35/45) - b^(-61/45))

= (5b^(-21/125) - 5b^(-126/125)) / (b^(-7/9) - b^(-61/45))

Таким образом, упрощенное выражение равно (5b^(-21/125) - 5b^(-126/125)) / (b^(-7/9) - b^(-61/45)).

2. Аналогично, давайте упростим выражение ∛a - ∛b / ⁶√a - ⁶√b:

(∛a - ∛b) / (⁶√a - ⁶√b)

Заметим, что ∛a - ∛b = (∛a - ∛b)(