Question

Докажите тождество (a+b)^2(a-b)^2=2(a^2+b^2)

Answer 1

(a + b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)
a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = 2a^2 + 2b^2
2a^2 + 2b^2 = 2a^2 + 2b^2
0 = 0 => тождество

Answer 2

Разложим левую часть на множители:

$$\begin{aligned} (a+b)^2(a-b)^2 &= (a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - 2ab + b^2) \\ &= a^4 + 2a^3 b - 2a b^3 - 2ab^3 + 2b^3 - b^4 \\ &= a^4 - 2a^2b^2 + b^4 + 2a^2b + 2ab^2 - 2a^2b - 2ab^2 + 2b^2a - 2b^2a + 2a^2 + 2b^2 \\ &= (a^2 - b^2)^2 + 2ab(a^2-b^2) + 2(a^2+b^2) \end{aligned}$$

Последние два слагаемых можно объединить:

$$2ab(a^2-b^2) + 2(a^2+b^2) = 2ab(a^2-b^2) + 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + ab + b^2) + 2a^2 - 2ab + 2b^2$$

Теперь осталось показать, что $2(a^2 + ab + b^2) + 2a^2 - 2ab + 2b^2 = 2(a^2+b^2)$:

$$\begin{aligned} 2(a^2 + ab + b^2) + 2a^2 - 2ab + 2b^2 &= 4a^2 + 2ab + 4b^2 \\ &= 2(a^2 + 2ab + b^2) + 2(a^2 + b^2 - 2ab) \\ &= 2(a+b)^2 + 2(a-b)^2 \\ &= 2(a^2+b^2) \end{aligned}$$

Таким образом, мы показали, что $(a+b)^2(a-b)^2=2(a^2+b^2)$.