Question

Неравенство (3x^2-6x+2-1/(x+2))(x-1)-3<=0

Answer 1

(3x²-6x+1)/((x+2)(x-1))-3≤0

(3x²-6x+1-3x²-3x+6)/((x+2)(x-1))≤0

(-9x+1)/((x+2)(x-1))≤0

x∈(-2;1/9}∪(1;+∞)

Answer 2

Давайте решим это неравенство по порядку. Сначала раскроем скобки:

(3x^2 - 6x + 2 - 1/(x+2))(x-1) - 3 ≤ 0 = (3x^3 - 9x^2 + x + 2 - 1/(x+2)) - (x - 1)*3 ≤ 0 = 3x^3 - 9x^2 + x - 1/(x+2) - 3x + 3 + 1 ≤ 0 = 3x^3 - 9x^2 - 2x + 4 - 1/(x+2) ≤ 0

Заметим, что второе слагаемое, -1/(x+2), всегда отрицательно или нулевое. Поэтому максимальное значение функции достигается при x → -∞. Также заметим, что при x → ±∞ первое слагаемое, 3x^3 - 9x^2 - 2x + 4, будет расти без ограничений.

Таким образом, чтобы неравенство было выполнено, необходимо, чтобы первое слагаемое было отрицательным в некоторой окрестности точки x = -2, где второе слагаемое достигает минимального значения.

Чтобы найти это значение, найдем производную первого слагаемого:

d/dx (3x^3 - 9x^2 - 2x + 4) = 9x^2 - 18x - 2

Найдем корни этого выражения:

9x^2 - 18x - 2 = 0 x = (18 ± sqrt(18^2 + 492)) / 18 x = 1 ± sqrt(7)/3

Таким образом, чтобы первое слагаемое было отрицательным в некоторой окрестности x = -2, нужно, чтобы -2 было между 1 - sqrt(7)/3 и 1 + sqrt(7)/3.

Итак, решение неравенства:

(3x^2 - 6x + 2 - 1/(x+2))(x-1) - 3 ≤ 0 = 3x^3 - 9x^2 - 2x + 4 - 1/(x+2) ≤ 0 = x ∈ (-∞, -2) ∪ [1 - sqrt(7)/3, 1 + sqrt(7)/3]