Question

Пожалуйста, объясните теорему Виета.

Answer 1

Теорема Виета:
приведенное квадратное уравнение вида:
$x^2+px+q=0$
Сумма корней уравнение равен:
$x_1+x_2=-p$
Произведение корней уравнения равен:
$x_1x_2=q$

а для квадратное уравнение вида:
$ax^2+bx+c=0$
Сумма корней уравнение равен:
$x_1+x_2=- \frac{b}{a}$
Произведение корней уравнения равен:
$x_1x_2= \frac{c}{a}$

Answer 2

Конечно! Теорема Виета, также известная как формулы Виета, является математическим результатом, который связывает коэффициенты и корни многочлена. Эта теорема была предложена французским математиком Франсуа Виетом в 16 веке.

Предположим, что у нас есть многочлен степени n с действительными или комплексными коэффициентами:

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + aₙ₋₂xⁿ⁻² + ... + a₁x + a₀

Теорема Виета устанавливает связь между корнями этого многочлена и его коэффициентами. Она утверждает следующее:

1. Сумма корней многочлена равна отношению коэффициента при старшем члене многочлена к коэффициенту при члене меньшей степени, помноженному на (-1) в степени n-1. Формально, это можно записать как:

   сумма корней = - (aₙ₋₁ / aₙ)

2. Произведение корней многочлена равно отношению свободного члена многочлена к коэффициенту при старшем члене многочлена. Формально, это можно записать как:

   произведение корней = (-1) в степени n * (a₀ / aₙ)

3. Если n чётное, то каждый корень встречается попарно в сумме и произведении. Это означает, что если z является корнем, то его комплексно-сопряжённое значение z* также является корнем. Если n нечётное, то один из корней может быть действительным, а остальные будут комплексными и также будут встречаться попарно.

Теорема Виета имеет широкий спектр применений в алгебре и теории уравнений. Она позволяет нам извлекать информацию о корнях многочлена, даже если нам неизвестны сами корни. Это может быть полезно, например, при нахождении корней квадратного уравнения, когда известны только коэффициенты.