Question

Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3+6x^2+15x-3 параллельной прямой y= 3x+5

Answer 1

Ответ:

y = 3x - 11

Объяснение:

f(x) = x³ + 6x² + 15x - 3; Касательная ║ графику y = 3x + 5

Линейные функции, графики которых параллельны имеют одинаковые угловые коэффициенты, то есть угловой коэффициент касательной k = 3

Но согласно геометрическому смыслу производной f'(x₀) = 3, где x₀ - точка касания.

f'(x) = 3x² + 12x + 15

Ищем x = x₀:

3x² + 12x + 15 = 3

3x² + 12x + 12 = 0 | : 3

x² + 4x + 4 = 0

(x + 2)² = 0

x = -2, значит х₀ = -2

f(x₀) = f(-2) = (-2)³ + 6·(-2)² + 15·(-2) - 3 = -8 + 24 - 30 - 3 = -17

f'(x₀) = 3, по условию

Уравнение касательной:

y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀)

y = 3·(x + 2) - 17

y = 3x - 11

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 + 6x^2 + 15x - 3, параллельной прямой y = 3x + 5, нужно использовать свойство параллельности прямых, которое гласит, что параллельные прямые имеют одинаковый коэффициент наклона.

Функция f(x) является кубической функцией, и чтобы найти коэффициент наклона касательной, нужно взять производную этой функции и приравнять ее к коэффициенту наклона прямой, которая равен 3.

Производная функции f(x) равна: f'(x) = 3x^2 + 12x + 15

Теперь установим равенство между производной и коэффициентом наклона прямой: 3x^2 + 12x + 15 = 3

Вычтем 3 с обеих сторон: 3x^2 + 12x + 12 = 0

Теперь у нас есть уравнение квадратного трехчлена. Для решения этого уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта или факторизацией. Дискриминант этого уравнения равен 144 - 144 = 0, что означает, что уравнение имеет один корень.

Решая уравнение, получаем: x = -2

Таким образом, точка касания касательной с графиком функции f(x) находится при x = -2.

Для нахождения соответствующего значения y воспользуемся исходной функцией: f(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 + 15(-2) - 3 = -8 + 24 - 30 - 3 = -17

Таким образом, координаты точки касания равны (-2, -17).

Теперь мы можем использовать найденные координаты и уравнение прямой для определения y-пересечения касательной: y = 3x + b -17 = 3(-2) + b -17 = -6 + b b = -11

Таким образом, y-пересечение касательной равно -11.

Итак, уравнение касательной, параллельной прямой y = 3x + 5 и касающейся графика функции f(x) в точке (-2, -17), будет иметь вид: y = 3x - 11