Question

Б) 4^x-2*4^x-2=56 В) 4^x+2^x+1=288 Решите уравнения

Answer 1

1. 4^x-2*4^(x-2)=56
4^x=m, m>0
m-2m/16=56
m-m/8=56/*8
8m-m=448
7m=448/:7
m=64
4^x=64
4^x=4^3
x=3

2. 4^x+2^(x+1)=288
2^2x+2^x*2=288
2^x=m, m>0
m²+2m-288=0
D=2²+4*288=1156=34²
m₁=(-2+34)/2=16
m₂=(-2-34)/2=-18 - посторонний корень, т.к. m>0
2^x=16
2^x=2^4
x=4

Answer 2

Давайте решим данные уравнения по одному:

Уравнение Б: 4^x - 2*4^(x-2) = 56

Для удобства заменим 4^(x-2) на 2^(2(x-2)):

4^x - 2*2^(2(x-2)) = 56

Так как 4 = 2^2, то можно записать следующее:

(2^2)^x - 2*2^(2(x-2)) = 56

Применим свойство степени степени, умножим степень на экспоненту в скобках:

2^(2x) - 2*2^(2x - 4) = 56

Подставим 2^(2x - 4) обратно в формулу:

2^(2x) - 2*2^(2x)*2^(-4) = 56

Упростим выражение:

2^(2x) - 2^(2x - 3) = 56

Теперь обозначим 2^(2x) как y:

y - y/8 = 56

Умножим уравнение на 8, чтобы избавиться от дроби:

8y - y = 448

7y = 448

y = 448 / 7

y = 64

Вернемся к исходной переменной x:

2^(2x) = 64

Применим логарифм по основанию 2 к обеим сторонам уравнения:

log₂(2^(2x)) = log₂(64)

2x = log₂(64)

2x = 6

x = 6 / 2

x = 3

Таким образом, решением уравнения Б является x = 3.

Уравнение В: 4^x + 2^x + 1 = 288

Поскольку 4 = 2^2, можем заменить 4^x на (2^2)^x:

(2^2)^x + 2^x + 1 = 288

2^(2x) + 2^x + 1 = 288

Обозначим 2^x как y:

y^2 + y + 1 = 288

Получаем квадратное уравнение:

y^2 + y - 287 = 0

Решим это уравнение с помощью квадратного корня:

y = (-1 ± √(1^2 - 41(-287))) / (2*1)

y = (-1 ± √(1 + 1148)) / 2

y = (-1 ± √1149) / 2

Заметим, что √1149 ≈ 33.94, а значит, корень √1149 является комплексным числом.

Поэтому решений вещественных чисел для уравнения В нет.

Таким образом, уравнение В не имеет решений в действительных числах.