Question

найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии если Сумма первых трех ее членов равна 3 а Сумма первых ее 3 членов с нечетными номерами 5/4

Answer 1

Если b[1], b[2], b[3], .. - данная бесконечная убывающая геомметрическая прогрессия с знаменателем q, 
то последовательность составленная из квадратов членов данной, тоже бессконечная убывающая c первым членом b[1] и знаменателем q^2

 используя формулу суммы бесконечной убывающей прогрессии
b[1]/(1-q)=3
b[1]^2/(1-q^2)=1,8
откуда разделив соотвественно левые и правые части равенств, 
и используя формулу разности квадратов
b[1]^2/(1-q^2) :b[1]/(1-q)=1,8/3
b[1]/(1+q)=0,6
откуда
b[1]=0,6(1+q)=3(1-q) 
0,6+0,6q=3-3q
0,6q+3q=3-0,6
3,6q=2,4
q=2 /3
 b[1]=3*(1-2/3)=3*1/3=1

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как a и знаменатель прогрессии как r.

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна:

S3 = a + ar + ar^2

Также, сумма первых трех членов с нечетными номерами равна:

S_odd = a + ar^2 + ar^4

Мы знаем, что S3 = 3 и S_odd = 5/4. Подставим эти значения в уравнения:

3 = a + ar + ar^2 5/4 = a + ar^2 + ar^4

Чтобы решить эту систему уравнений, разделим второе уравнение на 4/5, чтобы избавиться от дроби:

(4/5) * (5/4) = (4/5) * (a + ar^2 + ar^4) 1 = a + ar^2 + ar^4

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

(1 - 3) = (a + ar^2 + ar^4) - (a + ar + ar^2) -2 = ar^4 - ar

Факторизуем это уравнение:

-2 = ar(r^3 - 1)

Мы знаем, что рассматриваемая прогрессия убывающая, поэтому 0 < r < 1.

Рассмотрим выражение r^3 - 1 = 0:

r^3 - 1 = (r - 1)(r^2 + r + 1) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для r:

r1 = 1 r2 = (-1 ± √3i) / 2

Так как 0 < r < 1, отбрасываем r1 = 1.

Рассмотрим решение с r2:

-2 = a * r2(r2^3 - 1)

Подставим r2 в это уравнение:

-2 = a * ((-1 ± √3i) / 2) * ((-1 ± √3i) / 2)^3

Упростим это выражение:

-2 = a * ((-1 ± √3i) / 2) * ((-1 ± √3i) / 8)

-2 = a * ((-1 ± √3i)^4 / 16)

Упростим дальше:

-2 = a * (1 / 16)

Таким образом, получаем:

a = -32

Теперь, когда мы знаем значение a, можем найти значение суммы бесконечной геометрической прогрессии:

S = a / (1 - r)

S = -32 / (1 - r)

Так как мы исключили r = 1 из рассмотрения, решение для суммы геометрической прогрессии будет:

S = -32 / (1