Question

При каких значениях параметра в неравенство вх^2-9вх+5в>-1 справедливо при любых вещественных х?

Answer 1

Перепишем неравенство в следующем виде:
$bx^{2}-9bx+5b+1\ \textgreater \ 0$
Чтобы данное неравенство было верно для любых действительных х, необходимо выполнение следующих условий (график функции f(x) =  bx^2-9bx+5b+1, являющийся параболой должен находиться полностью выше оси Ох):
1. коэффициент перед старшим членом больше 0 (тогда ветви параболы будут смотреть вверх)
2. дискриминант   $bx^{2}-9bx+5b+1 = 0$ должен быть меньше нуля (парабола не имеет пересечений с осью Ox)

1. b > 0
2.  $D = (-9b)^{2} - 4 * b * (5b+1)=81b^{2} - 20b^{2}-4b=61b^{2}-4b \ \textless \ 0$
Решим неравенство методом интервалов:
    +               -                 +
----------|----------------|--------------
            0                  4/61
b∈(0; $\frac{4}{61}$) (не противоречит условию 1) =>
Ответ: b∈(0; $\frac{4}{61}$)

Answer 2

Для данного неравенства $x^2 - 9x + 5v > -1$ вам требуется определить значения параметра $v$, при которых неравенство будет выполняться для любых вещественных значений $x$.

Для начала приведем неравенство к каноническому виду квадратного трехчлена:

$x^2 - 9x + 5v > -1$

$x^2 - 9x + 5v + 1 > 0$

Теперь рассмотрим дискриминант этого квадратного трехчлена:

$D = (-9)^2 - 4(1)(5v + 1)$

$D = 81 - 20v - 4$

$D = 77 - 20v$

Дискриминант должен быть положительным, чтобы квадратное уравнение имело два различных вещественных корня. Так как мы хотим, чтобы неравенство выполнялось для любых значений $x$, то дискриминант должен быть неотрицательным:

$D \geq 0$

$77 - 20v \geq 0$

Теперь решим это неравенство относительно параметра $v$:

$20v \leq 77$

$v \leq \frac{77}{20}$

Таким образом, для любых значений параметра $v$ таких, что $v \leq \frac{77}{20}$, неравенство $x^2 - 9x + 5v > -1$ будет выполняться для любых вещественных значений $x$.