Question

Помогите решить! log(5)x>log(x)25

Answer 1

log(a) b = 1/log(b) a

log(a) b^n = n*log(a) b

log(5)x>log(x)25

ОДЗ x>0 x≠1

log(5)x > 2log(x) 5

log(5)x - 2/log(5)x > 0

log(5)x = t

t - 2/t > 0

(t^2-2)/t > 0

(t - √2)(t + √2)/t > 0

---------------- (-√2) +++++++++ (0) ---------------- (√2) +++++++

t∈(-√ 2  0) U (√2  + ∞)

1/ log(5) x > -√2

x > 5^(-√2)

2/ log(5)x < 0

x < 1

3/ log(5) x > √2

x> 5^(√2)

ответ x∈(1/5^(√2)  1) U (5^(√2) +∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства, начнем с преобразования его в эквивалентную форму без логарифмов.

Исходное неравенство: log(5)x > log(x)25

Применим свойства логарифмов, а именно правило изменения основания логарифма:

log(a)b = log(c)b / log(c)a

Получим:

log(5)x > log(25)x / log(25)

Теперь упростим правую часть неравенства:

log(5)x > log(x) / log(25)

Далее упростим левую часть неравенства:

log(5)x = log(5)x

Теперь мы имеем следующее неравенство:

log(5)x > log(x) / log(25)

Мы хотим избавиться от логарифмов в знаменателе, поэтому заменим log(25) на 2log(5), так как log(25) = log(5^2) = 2log(5):

log(5)x > log(x) / (2*log(5))

Теперь можем умножить обе части неравенства на 2log(5), при условии, что 2log(5) > 0:

2*log(5)log(5)x > 2log(5)log(x) / (2log(5))

Упростим выражение:

2*log(5)*log(5)x > log(x)

Теперь можем сократить 2*log(5) с обеих сторон:

log(5)x > log(x)

Так как основание логарифма одинаковое, то мы можем избавиться от логарифмов:

x > x

Окончательный результат: данное неравенство x > x верно для любого значения x.

Таким образом, решение исходного неравенства является множеством всех действительных чисел.