Question

Помогите пожалуйста-найти sin(а/2) если ctga=5/12 альфа принадлежит (540 град; 630 град) срочно пожалуйста

Answer 1

$ctga=\frac{5}{12} ,\\\\a\in (540^\circ ,630^\circ )\quad \Rightarrow \quad \frac{a}{2}\in (270^\circ ,315^\circ )\; -\; 4\; chetvert'\; \; \Rightarrow \\\\sin\frac{a}{2}\ \textless \ 0\\\\sin^2\frac{a}{2}=\frac{1-cosa}{2}\; \; \to \; \; sin\frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosa}{2}}\\\\Tak\; kak\; sin\frac{a}{2}\ \textless \ 0\; ,\; to\; \; sin\frac{a}{2}=-\sqrt{\frac{1-cosa}{2}}$

$cos^2a=\frac{1}{1+tg^2a}=\frac{1}{1+\frac{1}{ctg^2a}}=\frac{ctg^2a}{1+ctg^2a}=\frac{(\frac{5}{12})^2}{1+(\frac{5}{12})^2}=\\\\=\frac{25\cdot 144}{144+25}=\frac{25}{169}$

$cosa=-\frac{5}{13}\\\\sin\frac{a}{2}=-\sqrt{\frac{1-cosa}{2}}=-\sqrt{\frac{1+\frac{5}{13}}{2}}=-\sqrt{\frac{18}{26}}=-\frac{3}{\sqrt{13}}$

Answer 2

Для решения данной задачи нам потребуется знание формулы для тангенса половинного угла:

$\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}$

Также мы можем использовать определение котангенса:

$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$

Поскольку у нас дано значение котангенса, мы можем выразить тангенс:

$\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}$

Из условия задачи мы знаем, что $\cot \alpha = \frac{5}{12}$. Теперь мы можем найти значение тангенса:

$\tan \alpha = \frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5}$

Для того чтобы найти значение синуса половинного угла $\left(\frac{\alpha}{2}\right)$, мы можем воспользоваться следующей формулой:

$\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$

Однако, прежде чем продолжить, нам необходимо выразить косинус:

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$

Используя полученное значение тангенса, мы можем найти синус и косинус:

$\sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} = \frac{\frac{12}{5}}{\sqrt{1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2}} = \frac{12}{13}$

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{5}{13}$

Теперь мы можем найти значение синуса половинного угла $\left(\frac{\alpha}{2}\right)$:

$\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{5}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{8}{26}} = \frac{2\sqrt{2}}{13}$

Таким образом, $\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2\sqrt{2}}{13}$.