Question

Решите неравенство(0,5)^{-7x+12} \geq 32

Answer 1

$(0,5)^{-7x+12} \geq 32\\\\0,5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}=2^{-1},\; \; 32=2^5\\\\2^{7x-12}\geq 2^5\\\\7x-12\geq 5\\7x\geq 17\\x\geq \frac{17}{7},\; x\geq 2\frac{3}{7}$

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем начать с логарифмирования обеих сторон неравенства по основанию 0,5:

$\log_{0.5}((0.5)^{-7x+12}) \geq \log_{0.5}(32)$

Теперь мы можем упростить это выражение:

$-7x+12 \geq \log_{0.5}(32)$

Для нахождения значения $\log_{0.5}(32)$, мы можем воспользоваться свойствами логарифмов:

$\log_{0.5}(32) = \frac{\log_{10}(32)}{\log_{10}(0.5)}$

$\log_{0.5}(32) = \frac{\log_{10}(2^5)}{\log_{10}(0.5)}$

$\log_{0.5}(32) = \frac{5\log_{10}(2)}{\log_{10}(0.5)}$

Известно, что $\log_{10}(2) \approx 0.3010$ и $\log_{10}(0.5) \approx -0.3010$, поэтому:

$\log_{0.5}(32) \approx \frac{5(0.3010)}{-0.3010} \approx -5$

Теперь мы можем переписать неравенство как:

$-7x+12 \geq -5$

Чтобы избавиться от отрицательного коэффициента, умножим обе стороны на -1:

$7x-12 \leq 5$

Затем добавим 12 к обеим сторонам неравенства:

$7x \leq 17$

И, наконец, разделим обе стороны на 7:

$x \leq \frac{17}{7}$

Таким образом, решением данного неравенства является:

$x \leq \frac{17}{7}$