Question

Найти! Экстремумы функции f(x)=8/x+x/2 Исследовать функцию и построить её график. y=x^3-3x^2-9x-2

Answer 1

f(x)=8/x+x/2 - гипербола, у неё нет экстремумов.
y=x^3-3x^2-9x-2
обл. опред: (-беск;+беск)
обл. опред: (-беск;+беск)

точки пересечения с ось x
x1= 4.9142 
x2=-0.2436
x3=-1.6702
точка пересечения с осью y
-2+0^3-0-0
f(0)=-2
экстремумы
x1  = -1 
x2  = 3
fmin  = -29, fmax  = 3

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции f(x) = 8/x + x/2, необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.

Для нахождения производной, воспользуемся правилами дифференцирования:

f(x) = 8/x + x/2

f'(x) = -8/x^2 + 1/2

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-8/x^2 + 1/2 = 0

Умножим обе части уравнения на 2x^2:

-16 + x^2 = 0

x^2 = 16

x = ±4

Таким образом, у нас есть две критические точки x = -4 и x = 4, в которых функция может достичь экстремумов.

Для исследования функции f(x) и построения её графика, выполним следующие шаги:

1. Найдём точки пересечения функции с осями координат. Для этого приравняем f(x) к нулю:

8/x + x/2 = 0

Умножим обе части уравнения на 2x:

16 + x^2 = 0

x^2 = -16

Так как x^2 не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет действительных корней. Значит, функция не пересекает ось x.

2. Выясним знак производной функции f'(x) на разных интервалах.

• Для x < -4: Выберем x = -5. Подставим в производную: f'(-5) = -8/(-5)^2 + 1/2 = -8/25 + 1/2 < 0. Знак производной отрицательный на этом интервале.
• Для -4 < x < 4: Выберем x = 0. Подставим в производную: f'(0) = -8/0^2 + 1/2 = undefined. Значение производной неопределено на этом интервале.
• Для x > 4: Выберем x = 5. Подставим в производную: f'(5) = -8/5^2 + 1/2 = -8/25 + 1/2 > 0. Знак производной положительный на этом интервале.

3. Определим поведение функции на основе знака производной:

• Функция возрастает на интервале (-∞, -4) и (4, +∞).
• Функция убывает на интервале (-4, 4).

4. Найдём значения функции в критических точках и на концах интервалов:

• Для x = -4: f(-4)