Question

Первообразные функции f(x)=6x^2+ 3/sin^2x равны:

Answer 1

 f(x)=6x²  +  3/Sin² x 
F(x) = 6x³/3 -3Ctgx +C = 2x³ -3Ctgx +C

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции $f(x) = 6x^2 + \frac{3}{{\sin^2x}}$, мы должны найти функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Возьмем интеграл от $f(x)$ и найдем $F(x)$:

$$F(x) = \int (6x^2 + \frac{3}{{\sin^2x}}) \, dx$$

Для первого члена интеграла, $\int 6x^2 \, dx$, мы можем использовать правило степенной функции для интегрирования:

$$\int 6x^2 \, dx = 2x^3 + C_1,$$

где $C_1$ - произвольная постоянная.

Для второго члена интеграла, $\int \frac{3}{{\sin^2x}} \, dx$, мы можем использовать тригонометрическую подстановку. Подставим $u = \cos x$:

$$\begin{aligned} \int \frac{3}{{\sin^2x}} \, dx &= \int \frac{3}{{1 - \cos^2x}} \, dx \\ &= \int \frac{3}{{\sin^2x}} \cdot \frac{1}{{\cos^2x}} \, dx \\ &= \int \frac{3}{{(1 - u^2)}} \, du. \end{aligned}$$

Мы можем интегрировать это выражение с помощью частичной дробей:

$$\frac{3}{{(1 - u^2)}} = \frac{A}{{(1 - u)}} + \frac{B}{{(1 + u)}},$$

где $A$ и $B$ - неизвестные коэффициенты. Раскроем правую часть по частям:

$$\begin{aligned} 3 &= A(1 + u) + B(1 - u) \\ &= (A + B) + (A - B)u. \end{aligned}$$

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $u$, получаем систему уравнений:

$$\begin{aligned} A + B &= 3 \\ A - B &= 0. \end{aligned}$$

Решая эту систему, получаем $A = B = \frac{3}{2}$.

Теперь мы можем выразить исходный интеграл в терминах $u$:

\begin{aligned} \int \frac{3}{{\sin^2x}} \, dx &= \int \frac{\frac{3}{2}}{{(1 - u)}} \, du + \int \frac{\frac{3}{2}}{{(1 + u)}} \, du \\ &= \frac{3}{2} \ln|1 - u| - \frac{3}{2} \ln|1 + u| + C_2, \end{aligned} \