Question

Докажите что если abcd = 1 то (a +1)(b + 1)(c +1)(d + 1) больше или равно 16                                                                                          задача на свойства числовых не равенств все числа в задаче положительные 

Answer 1

Утверждение верно при положительных переменных.

Раскрыв скобки, мы обнаружим члены:

abcd+1 =2

ad+ac+ab+cd+cb+db. больше либо равно 6

abc+abd+adc+bdc+d+c+a больше либо равно 8.

Просуммировав  получим требуемое неравенство.

Утверждения про больше либо равно 6 и 8 доказываются на основе известного неравенства при х больше 0  (х+1/х) больше либо равно 2  (доказывается элементарно : обе части умножаются на х и получается (х-1) в квадрате больше либо равна 0)

Чтобы свести задачу к этому неравенству, группируем суммы:

(abc+d)+(abd+c)+(adc+b)+(bdc+a)   больше либо равно 8

и  (ad+св)+(ac+db)+(ab+cd)  больше либо равно 6.

Равенство  достигается, очевидно, когда все переменные равны 1.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом для положительных чисел.

Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом утверждает, что для положительных чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$ выполняется:

$$\frac{{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}$$

Теперь применим это неравенство к числам $a+1$, $b+1$, $c+1$ и $d+1$. Используем $n = 4$ для четырех чисел:

$$\frac{{(a + 1) + (b + 1) + (c + 1) + (d + 1)}}{4} \geq \sqrt[4]{(a + 1) \cdot (b + 1) \cdot (c + 1) \cdot (d + 1)}$$

Упрощаем:

$$\frac{{a + b + c + d + 4}}{4} \geq \sqrt[4]{(a + 1) \cdot (b + 1) \cdot (c + 1) \cdot (d + 1)}$$

Мы знаем, что $abcd = 1$, поэтому:

$$\frac{{a + b + c + d + 4}}{4} \geq \sqrt[4]{(a + 1) \cdot (b + 1) \cdot (c + 1) \cdot (d + 1)} \geq \sqrt[4]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = 2$$

Умножаем обе части неравенства на 4:

$$a + b + c + d + 4 \geq 8$$

Вычитаем 4 из обеих частей неравенства:

$$a + b + c + d \geq 4$$

Таким образом, мы доказали, что если $abcd = 1$, то $a + b + c + d \geq 4$.

Однако, нам требуется доказать, что $(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) \geq 16$. Рассмотрим это неравенство:

$$(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) \geq 16$$

Используя заданное условие $abcd = 1$, преобразуем левую часть:

$$(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = abcd + abc + abd + acd + bcd + ab + ac + ad + bc + bd + cd$$