Question

Из всех цилиндров, имеющих данную полную поверхность 24пи см^2, найти тот, который имеет наибольший объем.

Answer 1

радиус которого 3см, а высота 1см

V=πr²h

V=9π

 

 

 

 

Answer 2

Для нахождения цилиндра с наибольшим объемом из всех цилиндров с данной полной поверхностью, мы должны использовать формулы для объема и поверхности цилиндра и найти соответствующие значения.

Пусть r обозначает радиус цилиндра, а h - его высоту.

Формула для полной поверхности цилиндра: A = 2πrh + 2πr^2,

где A - полная поверхность цилиндра.

У нас дано, что полная поверхность цилиндра равна 24π см^2, поэтому мы можем записать: 24π = 2πrh + 2πr^2.

Мы также можем использовать формулу для объема цилиндра: V = πr^2h.

Наша цель - найти цилиндр с наибольшим объемом, поэтому мы можем записать это в виде задачи оптимизации: Максимизировать V = πr^2h.

Теперь мы можем решить эту задачу, используя систему уравнений:

24π = 2πrh + 2πr^2, (уравнение для полной поверхности цилиндра) V = πr^2h. (уравнение для объема цилиндра)

Для удобства вычислений давайте поделим оба уравнения на 2π:

12 = rh + r^2, (уравнение для полной поверхности цилиндра) V = πr^2h. (уравнение для объема цилиндра)

Теперь мы можем решить первое уравнение относительно h и выразить его через r:

h = (12 - r^2) / r.

Подставим это значение в уравнение для объема цилиндра:

V = πr^2 * ((12 - r^2) / r).

Для нахождения цилиндра с наибольшим объемом, нам нужно найти максимум функции V(r). Для этого мы можем взять производную V(r) по r и приравнять ее к нулю:

dV/dr = 2πr(12 - 2r) / r^2 = 0.

Раскроем скобки и сократим на r:

2(12 - 2r) = 0, 24 - 4r = 0, 4r = 24, r = 6.

Таким образом, радиус цилиндра с наибольшим объемом равен 6 см.

Теперь, чтобы найти соответствующую высоту h, мы можем использовать уравнение для полной поверхности