Question

Вычислить объем тетраэдра АВСD и его высоту, опущенную из вершины D на грань АВС       а(1.3.6)б(2.2.1)с(-1.0.1)д(-4.6.-3)

Answer 1

V= $\frac{1}{6} |DA*DB*DC|$
DA=(5,-3,9)
DB=(6, -4, 4)
DC=(3, -6, 4)
$V= \frac{1}{6} |det\left[\begin{array}{ccc}5&-3&9\\6&-4&4\\3&-6&4\end{array}\right] |=140/6$≈23.3333
Над всеми da, db, dc ставь стрелочки - это векторы
Площадь основания АВС равна модулю произведения векторов АВ и АС
$AB*AC= \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&1&-5\\-2&-3&-5\end{array}\right]$=-20i+15j+k
|AB*AC|= $\sqrt{(-20)^2+15^2+1^2} = \sqrt{626}$
V=Sh/3
h=3V/S=70/√626≈2,798

Answer 2

Чтобы вычислить объем тетраэдра и его высоту, нам необходимо знать координаты его вершин. Давайте воспользуемся заданными координатами вершин A(1, 3, 6), B(2, 2, 1), C(-1, 0, 1) и D(-4, 6, -3) для решения задачи.

Шаг 1: Найдем векторы AB, AC и AD. Вектор AB = B - A = (2 - 1, 2 - 3, 1 - 6) = (1, -1, -5) Вектор AC = C - A = (-1 - 1, 0 - 3, 1 - 6) = (-2, -3, -5) Вектор AD = D - A = (-4 - 1, 6 - 3, -3 - 6) = (-5, 3, -9)

Шаг 2: Вычислим объем тетраэдра по формуле: V = 1/6 * |AB·AC x AD|

где |AB·AC x AD| - модуль смешанного произведения векторов AB, AC и AD.

Шаг 2.1: Найдем векторное произведение векторов AB и AC: AB x AC = (AB_y * AC_z - AB_z * AC_y, AB_z * AC_x - AB_x * AC_z, AB_x * AC_y - AB_y * AC_x) = (1 * -5 - (-1) * (-2), (-1) * (-5) - 1 * (-2), 1 * (-3) - (-1) * (-2)) = (-7, -3, -1)

Шаг 2.2: Вычислим модуль вектора AB x AC: |AB x AC| = √((-7)^2 + (-3)^2 + (-1)^2) = √(49 + 9 + 1) = √59

Шаг 2.3: Подставим значения в формулу для объема тетраэдра: V = 1/6 * |AB·AC x AD| = 1/6 * |(-7, -3, -1) · (-5, 3, -9)| = 1/6 * (7 * (-5) + (-3) * 3 + (-1) * (-9)) = 1/6 * (-35 - 9 + 9) = 1/6 * (-35) = -35/6

Объем тетраэдра АВСD равен -35/6.

Шаг 3: Найдем высоту тетраэдра, опущенную из вершины D на грань АВС. Высота тетраэдра, опущенная из вершины D на грань АВС, будет перпендикулярна этой грани. Для вычисления длины высоты, нам необходимо найти площадь грани АВС.

Пло