Question

Найдите корни уравнения ,удовлетворяющие неравенству |x|<4 a)4sin^2x+sin^2(2x)=3

Answer 1

1) Сначала решим уравнение.  x/2 = (-1)^n * (pi/3) + pi n.

x = (-1)^n*(2pi/3) + 2pi n, n принадлежит Z

Если n - четное, т.е. n=2k, то x/2 = pi/3 + 2pi k,  x = 2pi/3 + 4pi k.  Если n - нечетное, т.е. n = 2k + 1, то x/2 = -pi/3  +(2k+1) pi = -pi/3 +2pi k + pi = 2pi/3 + 2pi k,  

x = 4pi/3 + 4pi k

2) Решим неравенство. Так основание pi>1, то x - 4pi < pi, x < 5pi. ОДЗ неравенства:

x - 4pi > 0,  x>4pi. Совмещаем выделенные неравенства: 4pi < x < 5pi

3) Отбор корней.  а)  4pi < 2pi/3 + 4pi k < 5pi,  4 < 2/3 +4k < 5,  12 < 2 + 12k < 15,

10 <12k < 13,  5/6 < k < 13/12. Отсюда k = 1 и x = 2pi/3 + 4pi = 14pi/3

б)  4pi < 4pi/3 + 4pi k < 5pi,  4 < 4/3 +4k < 5,  12 < 4 +12k < 15,  8 < 12k < 11,

2/3 < k < 11/12, так как к - целое число, то здесь решений нет.

Тогда ответ: а) решение уравнения x = (-1)^n*(2pi/3) + 2pi n, n принадлежит Z

б) корни, удовлетворяющие логарифмическому неравенству x = 14pi/3

Answer 2

4sin^2x+sin^2(2x)cos^2(2x)-3=0

sin^2x(4+cos^2x-3)=0

sin^2x(Cos^2x+1)=0

sin^2x=0

sinx=0

x=pi*n, n принадлежит z

 

cos^2x=-1

cosx=-1

x=pi+2pi*n, n принадлежит z

 

с промежутком я не уверена, но по-моему так:

-4<=pi*n<=4 (делим на pi)

-4/pi<=n<=4/pi

pi примерно равно 3, тогда

-4/3<=n<=4/3

n=1   корень: pi

n=-1 корень: -pi

 

-4<=pi+2pi*n<=4 (переносим pi)

-5<=2pi*n<=3 (делина на 2pi)

-5/2<=n<=3/2

n=-2  корень: -3pi

n=-1  корень: -pi

n=0  корень: pi

n=1   корень:  3pi

Answer 3

Для начала решим уравнение:

4sin^2(x) + sin^2(2x) = 3

Заметим, что sin^2(2x) = (sin(2x))^2 = (2sin(x)cos(x))^2 = 4sin^2(x)cos^2(x).

Теперь подставим это в исходное уравнение:

4sin^2(x) + 4sin^2(x)cos^2(x) = 3

Перенесем все члены в левую часть:

8sin^2(x)cos^2(x) + 4sin^2(x) - 3 = 0

Факторизуем это уравнение:

(2sin(x)cos(x))^2 + 4sin^2(x) - 3 = 0

Заметим, что 2sin(x)cos(x) = sin(2x), поэтому:

sin^2(2x) + 4sin^2(x) - 3 = 0

Теперь заменим sin^2(2x) на 1 - cos^2(2x):

1 - cos^2(2x) + 4sin^2(x) - 3 = 0

Перенесем все члены в одну сторону:

4sin^2(x) - cos^2(2x) - 2 = 0

Заменим cos^2(2x) на 1 - sin^2(2x):

4sin^2(x) - (1 - sin^2(2x)) - 2 = 0

Раскроем скобки:

4sin^2(x) - 1 + sin^2(2x) - 2 = 0

5sin^2(x) + sin^2(2x) - 3 = 0

Таким образом, исходное уравнение сводится к:

5sin^2(x) + sin^2(2x) - 3 = 0

Теперь решим это уравнение.

Для этого можно воспользоваться графическим методом, построив графики функций y = 5sin^2(x) и y = 3 - sin^2(2x) и найдя точки их пересечения.