Question

1)Найти частную производную от функции Z=(y+x)^2+3x-2y в точке M(2;3) 2)Найти ∂^z/∂x^2, если z=x^3-xy^2+3x^2+y^2-1 3)производная функции z=4y^5x+3xy-5y в точке A(1;-1) по направлению вектора a=(5;-12) равна...

Answer 1

$1)\ z'_x =(y^2+2xy+x^2+3x-2y)'_x=2y+2x+3 \\ z'_x (2;3)=2*3+2*2+3=13. \\ \\ z'_y =(y^2+2xy+x^2+3x-2y)'_y=2y+2x-2 \\ z'_x (2;3)=2*3+2*2-2=8.$
$2)\ \dfrac{\partial z}{\partial x} =\dfrac{\partial}{\partial x}(x^3-xy^2+3x^2+y^2-1)=3x^2-y^2+6x. \\ \\ \dfrac{\partial ^2z}{\partial x^2} =\dfrac{\partial}{\partial x}(3x^2-y^2+6x)=6x+6.$

Answer 2

1. Для нахождения частной производной функции Z=(y+x)^2+3x-2y по переменной x, мы должны дифференцировать каждый член функции по x, считая y постоянной. Таким образом:

∂Z/∂x = 2(y+x) + 3

Подставим значения x=2 и y=3:

∂Z/∂x = 2(3+2) + 3 = 2(5) + 3 = 10 + 3 = 13

2. Для нахождения второй частной производной функции z=x^3-xy^2+3x^2+y^2-1 по переменной x, мы должны дважды дифференцировать функцию по x, считая y постоянной. Таким образом:

∂^2z/∂x^2 = ∂/∂x(∂z/∂x)

∂z/∂x = 3x^2 - y^2 + 6x

Теперь возьмем частную производную по x от этого выражения:

∂^2z/∂x^2 = ∂/∂x(3x^2 - y^2 + 6x)

∂^2z/∂x^2 = 6x + 6

Подставим x=2:

∂^2z/∂x^2 = 6(2) + 6 = 12 + 6 = 18

3. Для нахождения производной функции z=4y^5x+3xy-5y в точке A(1;-1) по направлению вектора a=(5;-12), мы можем использовать градиент функции. Градиент функции - это вектор, состоящий из частных производных функции по каждой переменной.

Градиент функции z(x, y) выглядит следующим образом:

∇z = (∂z/∂x, ∂z/∂y)

∂z/∂x = 4y^5 + 3y ∂z/∂y = 20y^4x + 3x - 5

Теперь подставим значения x=1 и y=-1:

∂z/∂x = 4(-1)^5 + 3(-1) = -4 - 3 = -7 ∂z/∂y = 20(-1)^4(1) + 3(1) - 5 = 20 + 3 - 5 = 18

Теперь вычислим производную вектора a=(5;-12) с градиентом функции:

∇z • a = (∂z/∂x, ∂z/∂y) • (5, -12) = (∂z/∂x)(5) + (∂z/∂y)(-12)

∇z • a = (-7)(5) + (18)(-12) = -35 - 216 = -251

Таким об