Question

Как решить уравнение с заменой сменной? (x-5)^2=3x+25

Answer 1

$(x-5)^2=3x+25\\\\(x-5)^2=3x-15+40\\\\(x-5)^2=3(x-5)+40\\\\x-5=t\\\\t^2=3t+40\\\\t^2-3t-40=0\\\\D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-40)=9+160=169\\\\\sqrt{D}=\sqrt{169}=13\\\\t_1=\frac{3-13}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5\\\\t_2=\frac{3+13}{2\cdot1}=\frac{16}{2}=8\\\\x_1-5=-5\\x_1=-5+5\\x_1=0\\\\x_2-5=8\\x_2=8+5\\x_2=13$

Ответ: 0; 13

Answer 2

Давайте решим уравнение с заменой переменной. Пусть $y = x - 5$, тогда наше уравнение примет вид $y^2 = 3(y + 5) + 25$.

Раскроем скобки: $y^2 = 3y + 15 + 25$.

Упростим: $y^2 - 3y - 40 = 0$.

Теперь нам нужно решить полученное квадратное уравнение. Мы можем попытаться разложить его на множители или использовать квадратное уравнение.

Разложим уравнение на множители: $(y - 8)(y + 5) = 0$.

Таким образом, получаем два возможных значения для $y$: $y = 8$ или $y = -5$.

Вспоминаем, что мы заменили переменную: $y = x - 5$.

Решим первое уравнение: $x - 5 = 8$. Добавим 5 к обеим сторонам: $x = 13$.

Теперь решим второе уравнение: $x - 5 = -5$. Добавим 5 к обеим сторонам: $x = 0$.

Итак, у нас есть два решения: $x = 13$ и $x = 0$.