Question

Найти значение производной функции у=f(x) в точке х₀: f(x)=(2x+1)(√x-1) , х₀=4

Answer 1

$f(x)=(2x+1)(\sqrt{x}-1 )$

$f'(x)=(2x+1)'(\sqrt{x}-1 )+(2x+1)'(\sqrt{x}-1 )'=\\=2(\sqrt{x}-1 )+(2x+1)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x} } =2(\sqrt{x}-1 )+\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x} }$

$f'(4)=2(\sqrt{4}-1 )+\dfrac{2\cdot4+1}{2\sqrt{4} } =2(2-1 )+\dfrac{8+1}{2\cdot2 } =2+\dfrac{9}{4 } =\dfrac{17}{4}$

Answer 2

Для нахождения значения производной функции f(x) в точке x₀ = 4, нам понадобится применить правило производной произведения двух функций.

Функция f(x) задана выражением f(x) = (2x + 1)(√x - 1). Для удобства расчетов, давайте разделим ее на два множителя:

f(x) = (2x + 1) * (√x - 1) = u(x) * v(x),

где u(x) = 2x + 1 и v(x) = √x - 1.

Теперь применим правило производной произведения функций:

f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x),

где u'(x) и v'(x) - производные функций u(x) и v(x) соответственно.

Вычислим производные от функций u(x) и v(x):

u'(x) = d/dx(2x + 1) = 2,

v'(x) = d/dx(√x - 1) = (1/2) * (x)^(-1/2) = 1/(2√x).

Теперь мы готовы вычислить значение производной f'(x) в точке x₀ = 4:

f'(4) = u'(4) * v(4) + u(4) * v'(4) = 2 * (√4 - 1) + (2*4 + 1) * (1/(2√4)) = 2 * (2 - 1) + (8 + 1) * (1/(2 * 2)) = 2 + 9/4 = 17/4.

Таким образом, значение производной функции f(x) в точке x₀ = 4 равно 17/4.