Question

Укажите корень уравнения 2^x-1 = 2-x. Если корней несколько в ответе укажите наименьший

Answer 1

$\sf 2^{x-1}=2-x$

Пусть  $\sf f(x)=2^{x-1}$  и  $\sf g(x)=2-x$ . Функция f(x) возрастает на всей области определения, в то время как g(x) убывает на всей числовой прямой  ⇒  данное уравнение имеет не более одного корня.

Подбором легко находим, что x=1  -  корень уравнения.

$\sf 2^{1-1}=2-1 \\ 2^0=1 \\ 1=1$

Других корней быть не может, что уже было доказано прежде.

Ответ: x=1

Answer 2

Для нахождения корня уравнения 2^x - 1 = 2^-x, можно воспользоваться методом подстановки или графическим методом. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Подставим некоторые значения для x и посмотрим, когда равенство выполняется:

При x = 0: 2^0 - 1 = 1 - 1 = 0 2^(-0) = 1

Равенство не выполняется.

При x = 1: 2^1 - 1 = 2 - 1 = 1 2^(-1) = 1/2

Равенство не выполняется.

При x = -1: 2^(-1) - 1 = 1/2 - 1 = -1/2 2^(-(-1)) = 2

Равенство не выполняется.

Мы видим, что при отрицательных значениях x, левая часть уравнения становится меньше нуля, тогда как правая часть всегда положительна. Следовательно, корень уравнения 2^x - 1 = 2^-x не существует.

Таким образом, у данного уравнения нет решений.