Question

Y=-x^3+3x^2-4 исследовать

Answer 1

Находим корни уравнения.
х1  = -1
х2 = х3 = 2
Берём производную.
-3х^2 + 6x = 0.  график параболы, ветви вниз.
3х (х-2) = 0   х = 0,  х=2.
Левее нули производная -, правее 2 тоже -.
Между 0 и 2 производная положительна.
Значит в точке 0 у функции минимум.
В точке 2 у функции максимум.
График выглядит следующим образом:
При х от -∞ до 0 функция убывает от +∞ до -4, имея пересечение с осью Х в точке -1.
Далее при Х от 0 до 2 функция возрастает от -4 до 0.
В точке 0 у функции максимум.
При х от 2 до +∞, функция убывает от 0 до -∞.

Answer 2

Для исследования функции Y = -x^3 + 3x^2 - 4 необходимо проанализировать ее различные аспекты, такие как область определения, поведение на бесконечности, экстремумы, точки перегиба и поведение при изменении знака.

1. Область определения: Функция Y = -x^3 + 3x^2 - 4 определена для всех действительных значений x, то есть область определения функции является множеством всех действительных чисел: D = (-∞, +∞).

2. Поведение на бесконечности: При рассмотрении пределов на бесконечности, когда x стремится к положительной или отрицательной бесконечности, функция также стремится к бесконечности. То есть: lim(x -> ±∞) Y = ±∞.

3. Экстремумы: Для определения экстремумов функции необходимо найти ее производную и решить уравнение f'(x) = 0.

   Y = -x^3 + 3x^2 - 4 Y' = -3x^2 + 6x

   Приравняем производную к нулю и решим уравнение: -3x^2 + 6x = 0 -3x(x - 2) = 0

   Из этого уравнения получаем две точки, в которых производная равна нулю: x = 0 и x = 2.

   Для определения типа экстремумов, необходимо проанализировать вторую производную. Вычислим Y''(x):

   Y'' = -6x + 6

   Подставим найденные значения x = 0 и x = 2 во вторую производную: Y''(0) = -6(0) + 6 = 6 Y''(2) = -6(2) + 6 = -6

   Исследуя знаки второй производной, получаем:

   • Y''(0) > 0: Вторая производная положительна, следовательно, при x = 0 есть локальный минимум.
   • Y''(2) < 0: Вторая производная отрицательна, следовательно, при x = 2 есть локальный максимум.

   Таким образом, у функции есть локальный минимум в точке (0, -4) и локальный максимум в точке (2, 0).

4. Точки перегиба: Чтобы найти точки перегиба, необходимо найти значения x, при которых вторая производная равна нулю или не существует.

   Y'' = -6x +