Question

Найдите,пожалуйста, интеграл xdx/1-x^2

Answer 1

-1/2.ln/1-xkv/+C
(- potomy, čto proizvodnaja  funkcii 1- xkv = -2x)

Answer 2

Для решения данного интеграла, воспользуемся методом частных дробей. Интеграл имеет вид:

∫(xdx)/(1-x^2)

Сначала разложим дробь на простые дроби:

(1-x^2) = (1-x)(1+x)

Теперь представим исходную функцию в виде суммы простых дробей:

∫(xdx)/(1-x^2) = ∫(A/(1-x) + B/(1+x))dx

Найдем значения A и B, используя метод неопределенных коэффициентов. Произведем общее умножение и приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x:

x = A(1+x) + B(1-x)

Подставим x = 1:

1 = A(1+1) + B(1-1) 1 = 2A A = 1/2

Подставим x = -1:

-1 = A(1-1) + B(1+1) -1 = 2B B = -1/2

Теперь мы можем записать исходную функцию в виде:

∫(xdx)/(1-x^2) = ∫(1/2(1-x) - 1/2(1+x))dx

Раскроем скобки и проинтегрируем каждую часть по отдельности:

= (1/2)∫(1-x)dx - (1/2)∫(1+x)dx = (1/2)(∫dx - ∫xdx) - (1/2)(∫dx + ∫xdx) = (1/2)(x - (1/2)x^2) - (1/2)(x + (1/2)x^2) + C = (1/2)x - (1/4)x^2 - (1/2)x - (1/4)x^2 + C = - (1/2)x^2 + C

Таким образом, интеграл ∫(xdx)/(1-x^2) равен - (1/2)x^2 + C, где C - произвольная постоянная.