Question

Начиная с какого номера члены геометрической прогрессии 1/3,2/3,4/3...больше 50

Answer 1

B1=1/3   q=2/3:1/3=2
bn=b1*qⁿ⁻¹>50
qⁿ⁻¹>150
(n-1)log₂q>log₂150

(n-1) log₂2>log₂150     n>log₂150+1   150≈2^7.5   n>8.5
n=9 

Answer 2

Дана геометрическая прогрессия с первым членом $a = \frac{1}{3}$ и знаменателем $r = \frac{2}{3}$. Чтобы определить, начиная с какого номера члены прогрессии становятся больше 50, мы можем найти формулу общего члена $a_n$ и решить неравенство $a_n > 50$.

Общий член геометрической прогрессии определяется формулой: $a_n = a \cdot r^{(n-1)}$

Подставляя значения $a = \frac{1}{3}$ и $r = \frac{2}{3}$, получаем: $a_n = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{(n-1)}$

Теперь решим неравенство $a_n > 50$: $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{(n-1)} > 50$

Упростим это неравенство: $\left(\frac{2}{3}\right)^{(n-1)} > 150$

Для решения неравенства можно применить логарифмы. Прологарифмируем обе стороны неравенства по основанию $\frac{2}{3}$: $\log_{\frac{2}{3}}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{(n-1)}\right) > \log_{\frac{2}{3}}(150)$

Так как $\log_{\frac{2}{3}}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{(n-1)}\right) = n-1$, исходное неравенство сводится к: $n-1 > \log_{\frac{2}{3}}(150)$

Вычислим правую часть неравенства: $\log_{\frac{2}{3}}(150) \approx 10.9658$

Теперь добавим 1 к обеим сторонам неравенства: $n > 1 + 10.9658$

$n > 11.9658$

Ответ: Чтобы члены геометрической прогрессии $1/3$, $2/3$, $4/3$,... были больше 50, необходимо начать с номера $n > 11.9658$. Так как номер должен быть целым числом, округлим вверх и получим $n \geq 12$. То есть, начиная с 12-го члена прогрессии и далее, члены будут больше 50.