Question

Разложите на множители многочлен: 1)х^4-25х^2+144; 2)2x^2-xy-6y^2; 3)x^4+4; решите уравнение: (3а-5)(2а+1)x=(3a-5)(4a-3)

Answer 1

1) корни кв.трехчлена по т.Виета (9) и (16)
разложение кв.трехчлена на множители через корни:
ax^2 + bx + с = a*(x - x1)(x - x2)
 ... = (x^2 - 9)(x^2 - 16) = (x - 3)(x + 3)(x - 4)(x + 4)
2) D = 1+4*2*6 = 7^2 ---> корни (1+-7)/4 
... = 2*(x - 2y)(x + (3/2)*y) = (x - 2y)(2x + 3y)
3) x^4 + 4 = (x^2)^2 + 2*x^2 * 2 - 2*x^2 * 2 + 2^2 = 
= (x^2 + 2)^2 - 4x^2 = (x^2 + 2 - 2x)(x^2 + 2 + 2x)
-------------------------------------------------------------------------
если a = -1/2 ---> 0*x = (-6.5)*(-5)---НЕ верное равенство ---> корней нет)))
если a = 5/3 ---> х ---любое число, x∈R
теперь можно сократить на первую скобку...
x = (4a-3) / (2a+1) = (4a+2 - 5) / (2a+1) = 2 - 5 / (2a+1)
это решение для всех остальных (а)

Answer 2

1. Разложение на множители многочлена х^4 - 25х^2 + 144:

Сначала заметим, что данное уравнение является квадратным относительно переменной х^2. Для простоты введем новую переменную u = x^2.

Теперь заменим в исходном многочлене x^2 на u:

u^2 - 25u + 144

Теперь произведем разложение на множители этого квадратного трехчлена. Мы ищем два числа, которые в сумме дают -25 и в произведении дают 144.

Разложение на множители: (u - 9)(u - 16)

Теперь заменим обратно u на x^2:

(x^2 - 9)(x^2 - 16)

Теперь воспользуемся формулой разности квадратов для каждого множителя:

(x - 3)(x + 3)(x - 4)(x + 4)

Итак, разложение на множители многочлена х^4 - 25х^2 + 144 равно (x - 3)(x + 3)(x - 4)(x + 4).

2. Разложение на множители многочлена 2x^2 - xy - 6y^2:

Для этого многочлена нет простого разложения на множители с рациональными коэффициентами. Мы можем попытаться разложить его на множители, представляющие собой произведение двух линейных множителей вида (ax + by + c), где a, b и c - целые числа.

2x^2 - xy - 6y^2 = (2x + 3y)(x - 2y)

Итак, разложение на множители многочлена 2x^2 - xy - 6y^2 равно (2x + 3y)(x - 2y).

3. Разложение на множители многочлена x^4 + 4:

Этот многочлен является суммой двух квадратов: x^4 + 4 = (x^2)^2 + 2^2.

Мы можем использовать формулу суммы квадратов: a^2 + b^2 = (a + b)(a - b).

Применяя эту формулу, получим:

x^4 + 4 = (x^2 + 2)(x^2 - 2).

Итак, разложение на множители многочлена x^4 + 4 равно (x^2 + 2)(x^2 - 2).

Теперь решим уравнение:

(3а-5)(2а+1)x = (3a-5)(4