Question

Помогите решить уравнение :Sin(2x+pi/3) + cos(2x+pi/3) = 0.

Answer 1

Воспользуемся формулой sin x + cos x = √2cos(45-x).
Тогда sin(2x+pi/3) + cos(2x+pi/3)  = √2cos(π/4-2x-π/3) =
 = √2cos(-π/12-2x) = -√2cos(π/12+2x) = 0.
После сокращения на -√2 получим:
cos(π/12+2x) = 0    π/12+2x = 2kπ+-π/2.
2x₁ = 2kπ+π/2-π/12 = 2kπ+5π/12.      x₁ = kπ+5π/24,
2x₂ = 2kπ-π/2-π/12 = 2kπ-7π/12.      x₂ = kπ-7π/24.

Answer 2

Sin(2x+π/3)+sin(π/6-2x)=0
2sinπ/2cos(2x+π/12)=0
cos(2x+π/12)=0
2x+π/12=π/2+πn
2x=5π/12+πn
x=5π/24+πn/2

Answer 3

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и привести его к более простому виду.

Используем следующие тождества: sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

Применим эти тождества к нашему уравнению:

sin(2x + π/3) + cos(2x + π/3) = 0

sin(2x)cos(π/3) + cos(2x)sin(π/3) + cos(2x)cos(π/3) - sin(2x)sin(π/3) = 0

Теперь можем сгруппировать слагаемые:

[cos(2x)cos(π/3) - sin(2x)sin(π/3)] + [sin(2x)cos(π/3) + cos(2x)sin(π/3)] = 0

cos(2x + π/3) + sin(2x + π/3) = 0

Мы видим, что у нас получилось выражение вида sin(A) + cos(A) = 0, где A = 2x + π/3.

Это равенство может быть истинным только в двух случаях:

1. sin(A) = 0 и cos(A) ≠ 0
2. sin(A) ≠ 0 и cos(A) = 0

Рассмотрим каждый случай по отдельности:

1. sin(A) = 0 и cos(A) ≠ 0 Из тригонометрической единичной окружности мы знаем, что sin(A) = 0, когда A = kπ, где k - целое число. Также известно, что cos(A) ≠ 0, когда A ≠ (2n + 1)π/2, где n - целое число. Подставим A = 2x + π/3: 2x + π/3 = kπ 2x = kπ - π/3 x = (kπ - π/3)/2

2. sin(A) ≠ 0 и cos(A) = 0 sin(A) ≠ 0, когда A ≠ kπ, где k - целое число. cos(A) = 0, когда A = (2n + 1)π/2, где n - целое число. Подставим A = 2x + π/3: 2x + π/3 = (2n + 1)π/2 2x = (2n + 1)π/2 - π/3 x = [(2n + 1)π/2 - π/3]/2

Таким образом, общие решения уравнения Sin(2x+π/3) + cos(2x+π/3) = 0 выражаются следующим образом:

x = (kπ - π/3)/2, где k - целое число