Question

Вычислить производную функции y=In(2x^3+1)/x^2-1

Answer 1

Логарифм частного - это разность логарифмов. Т.е. y=ln(2x^3 +1) - ln(x^2 -1)
Берем производную:
y'= (6x^2)/(2x^3 +1) - (2x)/(x^2 -1)

Answer 2

Для вычисления производной функции y = ln((2x^3 + 1)/(x^2 - 1)) мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Первым шагом разобьём функцию на две части: внешнюю функцию ln(u) и внутреннюю функцию u.

u = (2x^3 + 1)/(x^2 - 1)

Теперь вычислим производные внешней и внутренней функций:

dy/du = 1/u

du/dx = ((6x^2)(x^2 - 1) - (2x^3 + 1)(2x))/(x^2 - 1)^2

Теперь, применяя правило дифференцирования сложной функции (dy/dx = (dy/du) * (du/dx)), получим:

dy/dx = (1/u) * (((6x^2)(x^2 - 1) - (2x^3 + 1)(2x))/(x^2 - 1)^2)

Таким образом, производная функции y = ln((2x^3 + 1)/(x^2 - 1)) равна:

dy/dx = (((6x^2)(x^2 - 1) - (2x^3 + 1)(2x))/(x^2 - 1)^2) / ((2x^3 + 1)/(x^2 - 1))

Можно сократить (x^2 - 1) в числителе и знаменателе:

dy/dx = ((6x^2 - 6 - 4x^4 - 2x)/(2x^3 + 1)) / ((2x^3 + 1)/(x^2 - 1))

Упростим выражение:

dy/dx = (6x^2 - 6 - 4x^4 - 2x) / (2x^3 + 1) * ((x^2 - 1)/(2x^3 + 1))

Наконец, можно упростить ещё немного:

dy/dx = (6x^2 - 6 - 4x^4 - 2x) * (x^2 - 1) / (2x^3 + 1)^2