Question

Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер. y = -2x³+x²+4x-43.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y'=-6x^2+2x+4

x = -2/3

x = 1

     -                      +           -

-------------(-2/3)----------(1)----------

в точке x = -2/3 - локальный минимум

в точке x = 1 - локальный максимум

Answer 2

Для нахождения точек экстремума заданной функции y = -2x³ + x² + 4x - 43, нужно сначала найти ее производную и приравнять ее к нулю. Затем решим полученное уравнение, чтобы найти значения x, соответствующие экстремумам. Используем правило дифференцирования и найдем производную функции:

y' = -6x² + 2x + 4.

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-6x² + 2x + 4 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac,

где a = -6, b = 2 и c = 4.

D = 2² - 4(-6)(4) = 4 + 96 = 100.

Так как дискриминант D положителен, то уравнение имеет два действительных корня.

x₁ = (-b - √D) / (2a) = (-2 - √100) / (-12) = (-2 - 10) / (-12) = 12 / 12 = 1.

x₂ = (-b + √D) / (2a) = (-2 + √100) / (-12) = (-2 + 10) / (-12) = 8 / (-12) = -2/3.

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: x = 1 и x = -2/3.

Теперь найдем значения функции y при этих значениях x:

Подставим x = 1 в исходную функцию:

y(1) = -2(1)³ + (1)² + 4(1) - 43 = -2 + 1 + 4 - 43 = 0 - 38 = -38.

Подставим x = -2/3 в исходную функцию:

y(-2/3) = -2(-2/3)³ + (-2/3)² + 4(-2/3) - 43 = -2(-8/27) + 4/9 - 8/3 - 43 = 16/27 + 4/9 - 72/27 - 43 = -56/27 - 72/27 - 43 = -168/27 - 43 = -6 - 43 = -49.

Таким образом, получаем значения функции y при x = 1 равным -38, а при x = -2/3 равным -49.

Итак, точка экстремума x = 1 имеет характер локального минимума (функция достигает наименьшего значения в этой точке), а точка экстремума x = -2/3 имеет характер локального максимума (функция достигает наибольшего значения в этой точке).