Question

Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абцисс фигуры, ограниченной линиями: y^2-x+1=0 x-2=0 y=0

Answer 1

$y^2-x+1=0\; \; \; \to \; \; \; y^2=x-1\; \; ,\; \; y=\pm \sqrt{x-1}\; ,\\\\x-2=0\; \; \to \; \; x=2\; ,\\\\y=0\; ,\\\\V=\pi \int\limits^a_b\, f^2(x)\, dx =\pi \int\limits^2_1\, (x-1)\, dx=\pi \cdot \frac{(x-1)^2}{2}\Big |_1^2=\\\\=\frac{\pi }{2}\cdot \Big ((2-1)^2-(1-1)^2\Big )=\frac{\pi }{2}\cdot (1-0)=\frac{\pi}{2}$

Answer 2

Выразим х через у из формулы  линии y²-x+1=0; у²(х)=(х-1); х= y²+1         Если у=0, то х=1, если же х-2=0, то х=2, пределы интегрирования 1 и 2.

Ищем объем тела по формуле /см. вложение /

Answer 3

Для нахождения объема тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси абсцисс, можно воспользоваться формулой цилиндрического объема. Формула имеет вид:

V = ∫[a, b] πf(x)^2 dx,

где a и b - точки пересечения фигуры с осью абсцисс, f(x) - функция, описывающая верхнюю границу фигуры в зависимости от x.

В данном случае, фигура ограничена линиями y^2 - x + 1 = 0, x - 2 = 0 и y = 0. Для начала найдем точки пересечения фигуры с осью абсцисс:

Подставим y = 0 в уравнение y^2 - x + 1 = 0: 0^2 - x + 1 = 0, -x + 1 = 0, x = 1.

Точки пересечения фигуры с осью абсцисс: (1, 0) и (2, 0).

Теперь нам нужно найти функцию f(x), описывающую верхнюю границу фигуры в зависимости от x. Рассмотрим уравнение y^2 - x + 1 = 0:

y^2 - x + 1 = 0, y^2 = x - 1, y = √(x - 1).

Таким образом, f(x) = √(x - 1).

Теперь можем вычислить объем тела, используя формулу цилиндрического объема:

V = ∫[1, 2] π(√(x - 1))^2 dx.

V = ∫[1, 2] π(x - 1) dx.

V = π ∫[1, 2] (x - 1) dx.

V = π [(x^2/2 - x) |_1^2].

V = π [(2^2/2 - 2) - (1^2/2 - 1)].

V = π [(4/2 - 2) - (1/2 - 1)].

V = π [(2 - 2) - (1/2 - 1)].

V = π [0 - (-1/2)].

V = π (1/2).

Таким образом, объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями y^2 - x + 1 = 0, x - 2 = 0 и y = 0, равен π/2.