Question

Замена переменных в неопределённом интеграле 1)∫4(x^4-1)^2*x^3 dx 2)∫1/((5x+1)^3) dx 3)∫√((3x^4+2)^3)*x^3 dx

Answer 1

$1)\; \; \int \; \underline {\underline {4}}\, (x^4-1)^2\cdot \underline {\underline {x^3\, dx}}=[\; t=x^4-1\; ,\; dt=4x^3\, dx\; ]=\\\\=\int t^2\cdot dt= \frac{t^3}{3}+C= \frac{(x^4-1)^3}{3}+C \\\\2)\; \; \int \; \frac{1}{(5x+1)^3} dx=[\; t=5x+1\; ,\; dt=5\, dx\; ]=\frac{1}{5}\cdot \int \frac{5\, dx}{(5x+1)^3}=\\\\= \frac{1}{5}\cdot \int \frac{dt}{t^3} = \frac{1}{5}\cdot \int t^{-3}dt=\frac{1}{5}\cdot \frac{t^{-2}}{-2}+C= -\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2t^2}+C= -\frac{1}{10(5x+1)^2} +C$

$3)\; \; \int \; \sqrt{(3x^4+2)^3}\cdot x^3\, dx=[\; t=3x^4+2\; ,\; dt=12x^3\, dx\; ]=\\\\= \frac{1}{12}\cdot \int \, \sqrt{t^3}\, dt=\frac{1}{12} \cdot \int \, t^{3/2}\, dt= \frac{1}{12}\cdot \frac{t^{5/2}}{\frac{5}{2}} +C= \\\\=\frac{1}{6\cdot 5} \cdot (3x^4+2)^{\frac{5}{2}}+C= \frac{1}{30}\cdot \sqrt{(3x^4+2)^5} +C$

Answer 2

Для каждого из этих интегралов можно использовать замену переменных, чтобы упростить выражение и упростить интегрирование. Давайте рассмотрим каждый интеграл по порядку.

1. ∫4(x^4-1)^2*x^3 dx:

Для замены переменных обычно выбираются функции, производная которых присутствует в исходном интеграле. В данном случае хорошей заменой может быть u = x^4 - 1. Тогда дифференциал переменной u будет du = 4x^3 dx. Решаем уравнение относительно x^3 dx и получаем x^3 dx = du/4.

Теперь заменим выражения в интеграле:

∫4(x^4-1)^2x^3 dx = ∫(4u^2)(du/4) = ∫u^2 du.

Теперь мы имеем простой интеграл ∫u^2 du, который легко интегрируется:

∫u^2 du = u^3/3 + C.

Заменяем обратно переменную u:

∫4(x^4-1)^2*x^3 dx = (x^4 - 1)^3/3 + C.

2. ∫1/((5x+1)^3) dx:

Для этого интеграла можно использовать замену переменной u = 5x + 1. Тогда дифференциал переменной u будет du = 5 dx. Решаем уравнение относительно dx и получаем dx = du/5.

Заменяем выражения в интеграле:

∫1/((5x+1)^3) dx = ∫1/(u^3)*(du/5) = (1/5)∫u^(-3) du.

Интегрируем:

(1/5)∫u^(-3) du = (1/5)*(-u^(-2))/2 + C = -1/(10u^2) + C.

Заменяем обратно переменную u:

∫1/((5x+1)^3) dx = -1/(10(5x+1)^2) + C.

3. ∫√((3x^4+2)^3)*x^3 dx:

В этом интеграле можно использовать замену переменной u = 3x^4 + 2. Тогда дифференциал переменной u будет du = 12x^3 dx. Решаем уравнение относительно x^3 dx и получаем x^3 dx = du/(12x^3).

Заменяем выражения в интеграле:

∫√((3x^4+2)^3)x^3 dx = ∫√u^3(du/(12x^3)) = (1/12)∫(√u/u)*du.

Теперь проведем еще одну замену переменной,