Question

Cos x sin 9x = cos 3x sin 7x помогите с подробным решением​

Answer 1

$CosxSin9x=Cos3xSin7x\\\\\frac{1}{2}[(Sin(9x-x)+Sin(9x+x)]=\frac{1}{2}[Sin(7x-3x)+Sin(7x+3x)]\\\\Sin8x+Sin10x=Sin4x+Sin10x\\\\Sin8x+Sin10x-Sin4x-Sin10x=0\\\\Sin8x-Sin4x=0\\\\2Sin4xCos4x-Sin4x=0\\\\Sin4x(2Cos4x-1)=0$

$\left[\begin{array}{ccc}Sin4x=0\\2Cos4x-1=0\end{array}\right\\\\\left[\begin{array}{ccc}4x=\pi n,n\in Z \\Cos4x=\frac{1}{2} \end{array}\right\\\\\left[\begin{array}{ccc}x=\frac{\pi n }{4},n\in Z \\4x=\pm arcCos\frac{1}{2}+2\pi n,n\in Z \end{array}\right\\\\\left[\begin{array}{ccc}x=\frac{\pi n }{4},n\in Z \\4x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in Z \end{array}\right\\\\\left[\begin{array}{ccc}x=\frac{\pi n }{4},n\in Z \\x=\pm \frac{\pi }{12}+\frac{\pi n }{2},n\in Z \end{array}\right$

Answer 2

Для решения данного уравнения, нам понадобятся некоторые тригонометрические тождества. Давайте начнем:

1. Раскроем произведение в левой части уравнения, используя формулу произведения синусов: cos(x) * sin(9x) = (1/2) * [sin(10x) - sin(8x)]

2. Также раскроем произведение в правой части уравнения, используя ту же формулу: cos(3x) * sin(7x) = (1/2) * [sin(10x) - sin(4x)]

3. Теперь у нас получились две равенства: (1/2) * [sin(10x) - sin(8x)] = (1/2) * [sin(10x) - sin(4x)]

4. Упростим уравнение, сокращая общие части: sin(10x) - sin(8x) = sin(10x) - sin(4x)

5. Вычтем sin(10x) из обеих частей уравнения: -sin(8x) = -sin(4x)

6. У нас получилось: sin(8x) = sin(4x)

7. Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством, согласно которому sin(a) = sin(b), если a = b или a + b = (2n + 1) * pi, где n - целое число.

8. У нас есть два случая:

   • 8x = 4x => x = 0 (одно решение)
   • 8x + 4x = (2n + 1) * pi

9. Сложим x'ы и упростим: 12x = (2n + 1) * pi

10. Разделим обе части уравнения на 12: x = (2n + 1) * pi / 12

Таким образом, общее решение уравнения cos(x) * sin(9x) = cos(3x) * sin(7x) выглядит следующим образом: x = 0 или x = (2n + 1) * pi / 12, где n - целое число.