Question

Сравните числа: а) ㏒₃4 и б) ㏒₂3 и Прошу, подробно, не могу сам разобраться.

Answer 1

В таких задания полезно найти какое нибудь промежуточное число и сравнить с ним оба исходных. В первом случае такое число 5/4. В самом деле:

Ясно, что $2$. Тогда

$\sqrt[4]{2}$

Сравним теперь логарифм с 5/4:

$\log_3 4\ V\ \frac{5}{4} \\4\log_3 4\ V\ 5\log_3 3\\4^4\ V\ 3^5\\256\ V\ 243\\V= ">"$

То есть

$\log_3 4>\frac{5}{4}>\sqrt[4]{2}$

Почему я выбрал именно 5/4? Методом тыка. Сразу было очевидно, что оба числа лежат где то на отрезке [1; 2], более того, можно доказать, что оба числа меньше 3/2. Дальше выбираем относительно красивую дробь. Я выбрал 1.25=5/4. Вдруг повезет?

Теперь со вторым. Тут сгодится 7/4.

Легко доказать, что

$log_2 3$

Answer 2

Для сравнения чисел ㏒₃4 и ㏒₂3, нужно вычислить значения обоих логарифмов и сравнить их.

а) Число ㏒₃4 обозначает логарифм числа 4 по основанию 3. Он показывает, во сколько раз основание (3) нужно возвести, чтобы получить число (4). Формально, это означает, что нужно найти такое число x, что 3 в степени x равно 4.

Давайте найдем значение ㏒₃4:

3^x = 4

Мы можем записать это уравнение в виде логарифма:

x = ㏒₃4

Теперь мы хотим найти значение x. Для этого мы можем использовать естественный логарифм (логарифм по основанию e), так как существует связь между логарифмами различных оснований:

x = ㏒₃4 = ln(4) / ln(3)

Используя калькулятор, найдем значение этого выражения:

x ≈ 1.2619

Таким образом, значение ㏒₃4 округленно равно 1.2619.

б) Число ㏒₂3 обозначает логарифм числа 3 по основанию 2. Опять же, мы хотим найти число x, такое что 2 в степени x равно 3.

Записываем уравнение:

2^x = 3

Применяем естественный логарифм:

x = ㏒₂3 = ln(3) / ln(2)

Вычисляем значение этого выражения:

x ≈ 1.5849

Таким образом, значение ㏒₂3 округленно равно 1.5849.

Теперь мы можем сравнить значения обоих логарифмов:

㏒₃4 ≈ 1.2619 ㏒₂3 ≈ 1.5849

Из этих результатов видно, что ㏒₃4 меньше, чем ㏒₂3.