Question

Найти производную функций f(x)=2x-3\sinx в точке x=п\4

Answer 1

Вычислим производную частного:

   $f'(x)=\displaystyle \frac{(2x-3)'\cdot \sin x-(2x-3)\cdot (\sin x)'}{\sin^2x}=\frac{2\sin x-(2x-3)\cos x}{\sin^2x}$

Вычислим теперь значение производной в точке х=п/4:

$f( \frac{\pi}{4})=\dfrac{2\sin \frac{\pi}{4}-(2\cdot \frac{\pi}{4}-3)\cos \frac{\pi}{4}}{\sin^2\frac{\pi}{4}}= \dfrac{2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}- \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot(\frac{\pi}{2} -3) }{ \frac{1}{2} } =\\ \\ \\ = \dfrac{4-2(\frac{\pi}{2}-3)}{\sqrt{2}}= \dfrac{10- \pi }{\sqrt{2}}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции f(x) = 2x - 3sin(x) в точке x = π/4, нам понадобятся правила дифференцирования.

Применим правило дифференцирования для суммы функций и правило дифференцирования для произведения функций.

Производная линейной функции 2x равна просто 2.

Производная синуса sin(x) равна косинусу cos(x).

Таким образом, производная функции f(x) равна сумме производных двух слагаемых:

f'(x) = 2 - 3cos(x)

Теперь подставим x = π/4:

f'(π/4) = 2 - 3cos(π/4)

Чтобы найти значение косинуса в точке π/4, нам нужно знать его численное значение. Приближенно, cos(π/4) равен sqrt(2)/2.

Таким образом:

f'(π/4) = 2 - 3(sqrt(2)/2) = 2 - 3sqrt(2)/2 = (4 - 3sqrt(2))/2

Итак, производная функции f(x) = 2x - 3sin(x) в точке x = π/4 равна (4 - 3sqrt(2))/2.