Question

Сколько ноль будет закончено произведению 1 · 2 · 3 ... · 100?​

Answer 1

$1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 100=100!$

Подсчитаем сколько раз будет входить число '2' в факториал 100

$[\frac{100}{2}]+[\frac{100}{4}]+[\frac{100}{8}]+[\frac{100}{16}]+[\frac{100}{32}]+[\frac{100}{64}]=50+25+12+6+3+1=97$

Аналогично подсчитаем количество '5' в факториал 100

$[\frac{100}{5}]+[\frac{100}{25}]=20+4=24$

Таким образом, данное число можно представить в виде

$1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 100=2^{97}\cdot 5^{24}\cdot A=10^{24}\cdot 2^{73}\cdot A$

Где А - некоторый множитель.

Видим, что заканчивается число 100! нулями 24 раза.

Ответ: 24 нулей.

Answer 2

Чтобы определить количество нулей в конце произведения 1 · 2 · 3 · ... · 100, нам нужно посмотреть на количество пар 2 и 5 в этом произведении. Поскольку 10 = 2 × 5, каждая пара 2 и 5 вносит один ноль в конце числа.

В произведении чисел от 1 до 100 содержится много больше двоек, чем пятерок. Поэтому мы должны посчитать количество пятерок, чтобы определить количество нулей в конце.

В диапазоне от 1 до 100, у нас есть следующие числа, содержащие пятерки в своем разложении на простые множители: 5, 10, 15, 20, ..., 95, 100.

Всего 100 чисел в этом диапазоне, и каждое пятое число содержит пятерку в своем разложении на простые множители.

Таким образом, количество нулей в конце произведения 1 · 2 · 3 · ... · 100 равно количеству пятерок в этом диапазоне, то есть 100 ÷ 5 = 20.

Ответ: В конце произведения 1 · 2 · 3 · ... · 100 будет 20 нулей.