Question

На концерт пришли 125 человек, причём каждый был знаком ровно с 10 другими. В перерыве некоторые слушатели ушли. Оказалось, что все оставшиеся по прежнему имеют в зале одинаковое количество знакомых. Докажите, что среди ушедших были знакомые друг с другом.

Answer 1

Тк каждый знаком ровно с 10 людьми,то общее число знакомых пар равно: N=125*10/2 ,(делим на 2 Тк если суммировать по группам по 10,то знакомые пары будут встречаться повторно,то есть первый знает второго и второй знает первого) Предположим, что из ушедших людей нет знакомых,тогда очевидно,что число знакомых пар уменьшиться на 10*x,где x-число ушедших людей. (Надеюсь ясно). Пусть m - одинаковое число знакомых ,которое знает каждый из оставшихся людей (по условию). Ясно ,что 0 < m <10. Тк число оставшихся знакомых пар будет равно: m*(125-x)/2 Тогда верно равенство: 125*10/2 - 10*x =m*(125-x)/2 1250-20*x=125*m-m*x 1250=125*m+20*x-mx 1250=(125-x)*(m-20) +20*125 -1250=(125-x)*(m-20) 1250=(125-x)*(20-m) 1250=5^4 *2 Тк 125-x<5^4=625,то 20-m кратно 5. 10 <20-m <20. Тогда 20-m=15,что кратно 3,но 1250 не делиться на 3. То есть мы пришли к противоречию. Значит среди ушедших есть знакомые.

Answer 2

Предположим, что среди ушедших слушателей не было знакомых друг с другом. Обозначим количество ушедших слушателей как "х". Так как каждый слушатель был знаком ровно с 10 другими, то каждый ушедший слушатель имел 10 знакомых в зале перед уходом.

Теперь рассмотрим количество знакомых у оставшихся слушателей. Пусть у оставшихся слушателей в зале осталось "у" знакомых друг с другом. Так как каждый ушедший слушатель был знаком с 10 оставшимися, то в зале должно остаться 10х знакомых.

У нас есть следующая система уравнений:

1. Число знакомых у ушедших слушателей: 10х
2. Число знакомых у оставшихся слушателей: у

Из условия задачи, мы знаем, что общее количество знакомых в зале осталось неизменным. Итак, общее количество знакомых до и после перерыва должно быть одинаковым.

Перед перерывом в зале было 125 слушателей, и каждый из них был знаком с 10 другими. Таким образом, общее количество знакомств до перерыва равно 125*10 = 1250.

После перерыва в зале осталось (125 - x) слушателей, и каждый из них был знаком с у другими. Таким образом, общее количество знакомств после перерыва равно (125 - x) * у.

Из условия, что общее количество знакомств должно быть одинаковым до и после перерыва, получаем уравнение:

1250 = (125 - x) * у

Раскрывая скобки, получаем:

1250 = 125у - xу

Теперь вспомним, что каждый ушедший слушатель имел 10 знакомых в зале перед уходом, то есть x = 10.

Подставляем значение x в уравнение:

1250 = 125у - 10у

Раскрываем скобки:

1250 = 115у

Делим обе части уравнения на 115:

у ≈ 10,87

Так как у - количество знакомых, то это должно быть целое число, так как мы не можем иметь доли знакомых. Однако, это противоречит условию, что каждый оставшийся слушатель им