Question

Найдите наибольшее значение функции у=корень(36-16х-х^2)

Answer 1

Графиком у нас будет парабола ветки которой направление вниз а значит наибольшее значение функции будет находиться в вершине параболы
х кординату вершины находим по формуле, но из-за того что у нас есть корень формула имеет такой вид х=-2√(в/2а)
помним что функция имеет вид у=√(ах^2+ах+с)
в= -16
а= -1
х = -2√(-16/-1)=-8
у= 10 если подставить наш х
наибольшее значение функции 10

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции у = √(36 - 16х - х²), нужно найти экстремум функции. Для этого найдем производную функции у по переменной х и приравняем ее к нулю:

у' = d(√(36 - 16х - х²))/dх

Для удобства обозначим (36 - 16х - х²) как f(х):

у' = d(√f(х))/dх

Используя правило дифференцирования сложной функции (chain rule), получим:

у' = (1/2)(f(х))^(-1/2) * f'(х)

где f'(х) - производная f(х) по переменной х.

Теперь найдем производную f'(х):

f'(х) = d(36 - 16х - х²)/dх

f'(х) = -16 - 2х

Теперь подставим найденные значения в у':

у' = (1/2)(36 - 16х - х²)^(-1/2) * (-16 - 2х)

Теперь приравняем у' к нулю и решим уравнение:

0 = (1/2)(36 - 16х - х²)^(-1/2) * (-16 - 2х)

Поскольку в этом случае у' = 0, мы можем упростить уравнение:

0 = -16 - 2х

16 = -2х

х = -8

Теперь, чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, нужно проанализировать вторую производную. Если вторая производная положительна, то это минимум, а если отрицательна, то максимум.

Найдем вторую производную:

у'' = d(у')/dх

у'' = d((1/2)(36 - 16х - х²)^(-1/2) * (-16 - 2х))/dх

Упростим и продифференцируем:

у'' = (1/2)(36 - 16х - х²)^(-3/2) * (-16 - 2х) - (1/2)(36 - 16х - х²)^(-1/2) * (-2)

Теперь подставим х = -8 в у'':

у'' = (1/2)(36 - 16(-8) - (-8)²)^(-3/2) * (-16 - 2(-8)) - (1/2)(36 - 16(-8) - (-8)²)^(-1/2) * (-2)

у'' = (1/2)(36 + 128 - 64)^(-3/2) * (-16 + 16) - (1/2)(36 + 128 - 64)^(-1/2) * (-2)

у'' = (1/2)(100)^(-3/2) * 0 - (1/2)(100)^(-1/2) * (-2)

у'' = -1/2 * (-2) * (