Question

Найдите интервалы монотонности и экстремумы функций: y=0,5x^4-4x^2

Answer 1

Y' = 2x³-8x = 2x(x-2)(x+2)
y' = 0 при x = -2; 0; 2
y'   -     +      -      +
-------|-----|------|------>x
y ↘ -2 ↗ 0 ↘  2  ↗
      min max  min
Интервалы монотонности:
функция возрастает при х∈(-2;0) и при х∈(2;+∞);
функция убывает при х∈(-∞;-2) и при х∈(0;2).
Экстремумы: х=-2 и х=2 - точки минимума; х=0 - точка максимума
$y_{min}=y(-2)=y(2)=0,5*16-4*4=-8$ - минимум функции;
$y_{max}=y(0)=0$ - максимум функции

Answer 2

Чтобы найти интервалы монотонности и экстремумы функции $y = 0.5x^4 - 4x^2$, мы должны сначала найти её производную. Затем анализируем знак производной, чтобы определить интервалы монотонности, и исследуем вторую производную, чтобы найти экстремумы.

1. Найдем первую производную $y'$: $y' = 2x^3 - 8x$

2. Найдем вторую производную $y''$: $y'' = 6x^2 - 8$

Теперь рассмотрим каждый шаг по отдельности:

А. Найдем интервалы монотонности: Чтобы найти интервалы монотонности, мы исследуем знак производной $y'$ и находим значения $x$, при которых $y'$ равна нулю или не существует.

Решим уравнение $y' = 0$: $2x^3 - 8x = 0$ $2x(x^2 - 4) = 0$ $2x(x + 2)(x - 2) = 0$

Из этого уравнения видно, что $x = 0$, $x = -2$ и $x = 2$ являются критическими точками, где производная равна нулю.

Теперь рассмотрим интервалы между критическими точками и за пределами этих точек:

• При $x < -2$ функция $y'$ отрицательна, следовательно, $y$ убывает.
• В интервале $-2 < x < 0$ функция $y'$ положительна, следовательно, $y$ возрастает.
• В интервале $0 < x < 2$ функция $y'$ отрицательна, следовательно, $y$ убывает.
• При $x > 2$ функция $y'$ положительна, следовательно, $y$ возрастает.

Таким образом, интервалы монотонности функции $y = 0.5x^4 - 4x^2$ следующие:

• $y$ убывает на интервале $(-\infty, -2)$ и на интервале $(0, 2)$.
• $y$ возрастает на интервале $(-2, 0)$ и на интервале $(2, +\infty)$.

Б. Найдем экстремумы: Чтобы найти экстремумы, мы анализируем знак второй производной $y''$ в критических точках.

• При $x < -2$, $y''$ положительна, следовательно,