Question

Решите показательные уравнения: 1) 3^x-1+ 3^x-2 + 3^x-3=13 2)5^5-x=100 * 2^[-5 3)5^x-1 + 5*0.2^x-2-26

Answer 1

$1)3^{x-1}+3^{x-2}+3^{x-3}=133^{x-3}(3^2+3+1)=1313*3^{x-3}=13\\3^{x-3}=1=>x=3\\2)5^{5-x}=100*2^{-5+x}\frac{1}{5^{x-5}}=25*2^{x-3} \\1=25*5^{x-5}*2^{x-3}1=10^{x-3}=>x=3\\3)5^{x-1}+5*0,2^{x-2}-26=05^{x-1}+5^{-x+3}-26=0\\5^x=t=>\frac{t}{5} +\frac{5^3}{t} -26=0t^2-26*5t+5^4=0\\(t-5)(t-125)=0\\5^x=5=>x=1\\5^x=125=>x=3$

Answer 2

1. Давайте решим первое показательное уравнение:

3^(x-1) + 3^(x-2) + 3^(x-3) = 13

Мы можем заметить, что каждый слагаемый содержит базу 3, поэтому мы можем применить одну из свойств экспоненты и преобразовать уравнение:

3^(x-3) * 3^1 + 3^(x-3) * 3^0 + 3^(x-3) * 3^(-1) = 13

3^(x-3) * 3 + 3^(x-3) * 1 + 3^(x-3) * (1/3) = 13

Упрощаем:

3^(x-3) * (3 + 1 + 1/3) = 13

3^(x-3) * (9/3 + 3/3 + 1/3) = 13

3^(x-3) * (13/3) = 13

Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на 3:

3^(x-3) * (13/3) * 3 = 13 * 3

3^(x-3) * 13 = 39

Теперь мы можем записать уравнение в виде:

3^(x-3) = 39/13

3^(x-3) = 3

Так как база экспоненты одинакова, значит показатели экспоненты должны быть равны:

x - 3 = 1

x = 1 + 3

x = 4

Ответ: x = 4.

2. Перейдем ко второму показательному уравнению:

5^(5-x) = 100 * 2^(-5)

Мы можем заметить, что 100 = 10^2, а 2^(-5) = 1 / 2^5 = 1/32, поэтому уравнение можно записать в виде:

5^(5-x) = 10^2 * (1/32)

Перепишем 10^2 как 5^2:

5^(5-x) = 5^2 * (1/32)

Снова используем свойства экспоненты и приравняем показатели:

5-x = 2 + (-5)

5-x = -3

-x = -3 - 5

-x = -8

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить положительное значение x:

x = 8

Ответ: x = 8.

3. Перейдем к третьему показательному уравнению:

5^(x-1) + 5 * 0.2^(x-2) - 26 = 0

Мы можем заметить, что база экспоненты в первом слагаемом равна 5, а во втором слагаемом равна 0.2, поэтому мы не можем примен