Question

Укажите наименьшее значение функции y= (x-3)^2(x-6)-5 на промежутке [4;10] С подробным решением пжлст

Answer 1

(х-3)²·(х-6)-5
по формуле неполн квадрата расписываем и получается
(х²-6х+9)(х-6)-5=х³-6х²-6х²+36х+9х-54-5=х³-12х²+45х-59= х(х²-12х+45)-59

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном промежутке [4;10] необходимо найти точку, в которой достигается минимум. Давайте приступим к решению.

Шаг 1: Найдем критические точки функции внутри промежутка [4;10].

Для этого найдем производную функции y по x и приравняем ее к нулю:

y = (x-3)^2(x-6)-5

y' = 2(x-3)(x-6) + (x-3)^2

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

2(x-3)(x-6) + (x-3)^2 = 0

2(x-3)(x-6) + (x-3)(x-3) = 0

(x-3)[2(x-6) + (x-3)] = 0

(x-3)(2x-12+x-3) = 0

(x-3)(3x-15) = 0

Теперь решим это уравнение:

x - 3 = 0 или 3x - 15 = 0

x = 3 или 3x = 15

markdownCopy code
        x = 15/3

        x = 5

Получили две критические точки: x = 3 и x = 5.

Шаг 2: Оценим значения функции y в критических точках и на концах промежутка.

y(4) = (4-3)^2(4-6)-5 = (-1)^2(-2)-5 = 2-5 = -3 y(5) = (5-3)^2(5-6)-5 = (2)^2(-1)-5 = -4-5 = -9 y(10) = (10-3)^2(10-6)-5 = (7)^2(4)-5 = 196(4)-5 = 784-5 = 779

Значение функции в точке x = 3 мы уже нашли на предыдущем шаге и оно равно:

y(3) = (3-3)^2(3-6)-5 = (0)^2(-3)-5 = -5

Шаг 3: Сравним найденные значения функции и выберем наименьшее.

Мы получили следующие значения функции:

y(3) = -5 y(4) = -3 y(5) = -9 y(10) = 779

Наименьшим значением функции на промежутке [4;10] является y = -9, которое достигается при x = 5.

Итак, наименьшее значение функции y = (x-3)^2(x-6)-5 на промежутке [4;10] равно -9, и оно достигается при x = 5.