Question

Кто может решить показательное неравенство? 25×2^x -10^x +5^x -25>0

Answer 1

$25*2^x -10^x +5^x -25\ \textgreater \ 0 \\ 25*2^x -2^x*5^x +5^x -25\ \textgreater \ 0 \\ 25(2^x-1)+5^x(1-2^x)\ \textgreater \ 0 \\ 25(2^x-1)-5^x(2^x-1)\ \textgreater \ 0 \\ (25-5^x)(2^x-1)\ \textgreater \ 0 \\ 25-5^x\ \textgreater \ 0 \\ 5^x\ \textless \ 25 \\ x\ \textless \ 2 \\ \\ 2^x-1\ \textgreater \ 0 \\ 2^x\ \textgreater \ 1 \\ x\ \textgreater \ 0$
Т.к. наши промежутки строгие, икс больше нуля и икс меньше двух, а икс должен быть целым, то мы имеет лишь один ответ.
Ответ: х=1.

Answer 2

Данное показательное неравенство может быть решено аналитически. Давайте разберемся, как это сделать.

Пусть y = 2^x. Тогда неравенство примет вид: 25y - 10^x + 5^x - 25 > 0.

Теперь заметим, что -10^x + 5^x - 25 можно переписать в виде (-10^x + 5^x) - 25. Мы можем объединить (-10^x + 5^x) в одно слагаемое с помощью комбинирования слагаемых: (-10^x + 5^x) = (-2)^x + 5^x.

Таким образом, неравенство можно переписать следующим образом: 25y + ((-2)^x + 5^x) - 25 > 0.

Мы можем выразить его в виде одного слагаемого: 25y + ((-2)^x + 5^x) > 25.

Теперь рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

1. Рассмотрим слагаемое 25y. Подставим обратно y = 2^x: 25 * 2^x > 25.

2. Рассмотрим слагаемое ((-2)^x + 5^x). Поскольку (-2)^x < 0 при нечетных значениях x, а 5^x > 0 для всех значений x, мы можем записать: ((-2)^x + 5^x) > 0.

Итак, чтобы выполнить неравенство 25y + ((-2)^x + 5^x) > 25, достаточно выполнить два условия:

1. 25 * 2^x > 25.

2. ((-2)^x + 5^x) > 0.

3. Решим первое условие: 25 * 2^x > 25. Деля обе части неравенства на 25, получаем: 2^x > 1.

Так как 2^x является возрастающей функцией, решение данного неравенства будет x > 0.

2. Решим второе условие: ((-2)^x + 5^x) > 0. В данном случае, так как оба слагаемых положительны для всех значений x, неравенство выполняется при любых значениях x.

Таким образом, решением данного показательного неравенства является x > 0.

То есть, неравенство 25×2^x -10^x +5^x -25 > 0 выполняется при x > 0.