Question

3sin2x+cos2x=2   sin5х+cos 5х=     Помогите,пожалуйста!!! 

Answer 1

Дано уравнение:   $sin5x+cos5x=\sqrt{2}*cos13x$-----(1)

Будем решать уравнение методом вспомогательного угла.

Преобразуем левую часть уравнения (1):

  $sin5x+cos5x=1*sin5x+1*cos5x=\sqrt{2}*(\frac{1}{\sqrt{2}}*sin5x+\frac{1}{\sqrt{2}}*cos5x)$, отсюда 

$sin5x+cos5x=\sqrt{2}*[sin(\frac{\pi}{4})*sin5x+cos(\frac{\pi}{4})*cos5x]$,

где в квадратных скобках стоит выражение, представляющее собой косинус разности углов  $5x$ и $\frac{\pi}{4}$. Но так как косинус функция четная мы получаем два возможных случая:

а)  $sin5x+cos5x=\sqrt{2}*cos(5x-\frac{\pi}{4})$-------(2)

б) $sin5x+cos5x=\sqrt{2}*cos(\frac{\pi}{4}-5x)$--------(3)

Решаем каждый случай в отдельности.

а) Левые части равенств (1) и (2) равны, значит равны их правые части:

   $\sqrt{2}*cos13x=\sqrt{2}*cos(\frac{\pi}{4}-5x)$, или сокращая на $\sqrt{2}$

        $cos13x=cos(\frac{\pi}{4}-5x)$ 

  Отсюда по свойству косинуса имеем:

            $13x+\frac{\pi}{4}-5x=2\pi*k$, или

         $x=\frac{\pi*k}{4}-\frac{\pi}{32}$, где $k$ - целое число

б) Левые части равенств (1) и (3) равны, значит равны их правые части:

     

$\sqrt{2}*cos13x=\sqrt{2}*cos(5x-\frac{\pi}{4})$, или сокращая на $\sqrt{2}$

        $cos13x=cos(5x-\frac{\pi}{4})$ 

  Отсюда по свойству косинуса имеем:

      $13x+5x-\frac{\pi}{4}=2\pi*l$, или

   

 $x=\frac{\pi}{72}+\frac{\pi*l}{9}$, где  $l$ - целое число

 

Ответ: $x=\frac{\pi*k}{4}-\frac{\pi}{32}$; $x=\frac{\pi}{72}+\frac{\pi*l}{9}$ 

 

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по отдельности.

1. Уравнение 3sin2x + cos2x = 2:

Мы можем использовать тригонометрические идентичности для упрощения левой части уравнения:

3sin2x + cos2x = 2

Учитывая идентичность sin2x = 2sinx*cosx и cos2x = cos^2x - sin^2x:

3(2sinx*cosx) + (cos^2x - sin^2x) = 2

Упростим это уравнение:

6sinx*cosx + cos^2x - sin^2x = 2

Поскольку cos^2x - sin^2x = cos(2x), мы можем заменить это в уравнении:

6sinx*cosx + cos(2x) = 2

Теперь мы можем использовать тригонометрические идентичности для дальнейшего упрощения.

2. Уравнение sin5x + cos5x:

К сожалению, в вашем сообщении не указано, чему равняется правая часть уравнения sin5x + cos5x. Пожалуйста, уточните, чему равняется правая часть, чтобы мы могли продолжить решение.