Question

Найдите наименьшее значение функции 2корень из 3*sin6x-2cos6x-3

Answer 1

Ответ: $- \sqrt{13} - 3.$
$3\sin{6x} - 2\cos{6x} - 3 = \sqrt{3^2 + 2^2} \sin(x - \mathrm{arctg} \: \frac{2}{3}) - 3 = \\ = \sqrt{13} \sin{(x - \mathrm{arctg} \: \frac{2}{3})} - 3.$

Минимальное значение любого синуса равно $-1.$

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции, мы можем применить производные. Давайте найдем производную функции и решим уравнение, чтобы найти критические точки.

Имеем функцию f(x) = 2√3sin(6x) - 2cos(6x) - 3.

Найдем производную функции f(x) по x:

f'(x) = d/dx [2√3sin(6x) - 2cos(6x) - 3] = 2√3 * d/dx [sin(6x)] - 2 * d/dx [cos(6x)] = 2√3 * 6cos(6x) - 2 * (-6sin(6x)) = 12√3cos(6x) + 12sin(6x)

Теперь найдем критические точки, приравняв производную f'(x) к нулю:

12√3cos(6x) + 12sin(6x) = 0

Мы можем разделить уравнение на 12, чтобы упростить его:

√3cos(6x) + sin(6x) = 0

Мы можем применить тригонометрическую формулу синуса суммы:

√3cos(6x) + sin(6x) = 0 cos(-π/3)cos(6x) + sin(-π/3)sin(6x) = 0 cos(6x + (-π/3)) = 0

Теперь найдем значения x, для которых cos(6x + (-π/3)) = 0:

6x + (-π/3) = π/2 + kπ, где k - целое число

6x = π/2 + kπ + π/3 6x = (5π + 6kπ)/6 x = (5π + 6kπ)/(36)

Теперь мы найдем наименьшее значение функции, подставив найденные x в исходную функцию и выбрав наименьшее значение:

f(x) = 2√3sin(6x) - 2cos(6x) - 3

Поскольку мы знаем, что x = (5π + 6kπ)/(36), мы можем выразить f(x) в зависимости от k и найти минимальное значение, проверив значения для различных k.

Обратите внимание, что решение этого уравнения требует использования методов численного анализа для вычисления значений функции в различных точках и определения минимального значения. Если вы хотите конкретный ответ, уточните значение k, для которого вы хотите найти наименьшее значение функции.