Question

Найдите последнюю цифру числа N, представленного в виде N = 0² – 1² + 2² – 3² + 4² – 5²+ ,,, + 2008² – 2009².

Answer 1

Разности квадратов можно разложить
0^2-1^2=(0-1)(0+1)=(-1)*1=-1
2^2-3^2=(2-3)(2+3)=(-1)*5=-5
...
2008^2-2009^2=-4017
Это ариф. прогр., a1=-1; d=-4
Членов прогрессии ровно 2008/2+1=1005. Сумма
S=(-1-4017)*1005/2=-2009*1005
Это нечетное число делится на 5. Последняя цифра 5.

Answer 2

Давайте вычислим значение выражения N = 0² – 1² + 2² – 3² + 4² – 5² + ... + 2008² – 2009². Заметим, что каждое слагаемое представляет собой разность двух квадратов: n² - (n+1)² = n² - n² - 2n - 1 = -2n - 1.

Теперь мы можем переписать выражение для N следующим образом:

N = (-20 - 1) + (-21 - 1) + (-22 - 1) + ... + (-22008 - 1).

Применим формулу суммы арифметической прогрессии:

N = -2(0 + 1 + 2 + ... + 2008) - (2009*1) = -2 * (2008 * 2009 / 2) - 2009 = -2008 * 2009 - 2009.

Теперь найдем последнюю цифру этого выражения. Для этого нам нужно найти остаток от деления на 10:

N % 10 = (-2008 * 2009 - 2009) % 10.

Применим свойство остатка от деления для суммы и разности:

N % 10 = ((-2008 % 10) * (2009 % 10) - (2009 % 10)) % 10.

Теперь вычислим значения:

(-2008 % 10) = 2, (2009 % 10) = 9, (2 * 9 - 9) % 10 = 0.

Таким образом, последняя цифра числа N равна 0.