Question

Найдите корни уравнения log5(x-7)+log5(x-2)=log5(x+5)

Answer 1

log5(x-7)+log5(x-2)=log5(x+5)

Одз: x-7≤0       x≤7      
        x-3≤0       x≤2       ===>>x∈(7, +∞)
        x+5≤0      x≤-5

log5((x-7)*(x-2))=log5(x+5)

log(x^2-9x+14)=log5(x+5)

x^2-9x+14=x+5

x^2-9x+14-x-5=0

x^2-10x+9=0

D=(-10)^2-4*1*9=100-36=54=8^2

x=(10 ±8)/2

x₁=9
 
         так как по одз x∈(7, +∞)====>> x₂=1-не подходит

x₂=1

Ответ:x=9

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать свойства логарифмов. В частности, мы можем применить следующее свойство:

logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b * c)

Используя это свойство, уравнение можно переписать в следующем виде:

log₅((x - 7) * (x - 2)) = log₅(x + 5)

Теперь мы можем использовать свойство логарифмов, согласно которому, если logₐ(b) = logₐ(c), то b = c. Применяя это свойство к нашему уравнению, получим:

(x - 7) * (x - 2) = x + 5

Раскроем скобки:

x² - 9x + 14 = x + 5

Перенесем все члены влево:

x² - 9x - x + 14 - 5 = 0

x² - 10x + 9 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью факторизации или используя квадратную формулу.

Факторизуем:

(x - 1)(x - 9) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для x:

x - 1 = 0 => x = 1

x - 9 = 0 => x = 9

Таким образом, корни уравнения log₅(x - 7) + log₅(x - 2) = log₅(x + 5) равны x = 1 и x = 9.