Question

Докажите, что 10^(3n+1) нельзя представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел

Answer 1

Положим что числа $a,b$ представимы в виде кубов
$a^3+b^3=10^{3n+1}$ 
Так как  остаток слева    при делений на $3$ равен    $1$ 
А куб    сравним с $3$ , с $1;2;0$ . 
Тогда   $a^3+b^3$ сравним с $1+0=1\\ 1+2=3\\  2+0=2$   Остатки один  равны тогда , когда   
 $a=3x+1\\ b=3x+3$  
 $(3x+1)^3+(3x+3)^3=10^{3n+1}\\ (6x+4)( 9x^2+12x+7)=10^{3n+1}$ 
не один из слагаемых не кратен $5$ ,   значит не делиться на 5  , но     справа делится  , ч.т.д