Question

В6. В ромб со стороной 25 вписана окружность. Найдите радиус окружности, если диагонали ромба относятся как 3:4.

Answer 1

Если диагонали относятся как 3:4, то так же соотносятся и их половины. Представим прямоугольный треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и одной стороной ромба. Искомый радиус будет высотой этого треугольника.

Прямоугольный треугольник, имеющий соотношение катетов 3:4, имеет их отношение с гипотенузой 3:4:5 (т.н. Пифагоров треугольник). Значит, если гипотенуза 25, то катеты - 20 и 15.

Падающая из прямого угла высота делит гипотенузу на две части, которые относятся друг к другу как прилежащие к ним катеты, т.е. их длины составят 4/7*25=100/7 и 3/7*25=75/7. 

Теперь рассмотрим треугольник, образованный высотой (назовём её R), меньшим катетом 15 и прилежащей к нему частью гипотенузы 75/7. По теореме Пифагора:

15^2 = R^2 + (75/7)^2

Выразим R^2, приведём к общему знаменателю:

R^2 = 225 - 5625/49=(11025-5625)/49=5400/49 

То есть R  будет равно корню из этого числа. Корень получается некрасивым, возможно, в расчётах ошибка, но в целом ход решения такой

Answer 2

Пусть диагонали ромба равны d₁ и d₂. Дано, что их отношение равно 3:4. Мы можем записать это следующим образом:

d₁/d₂ = 3/4

Помним, что диагонали ромба являются перпендикулярными биссектрисами углов ромба, и они также являются диаметрами вписанной окружности.

Таким образом, диаметр окружности равен d₁, а её радиус равен половине диаметра. Поэтому мы можем записать:

d₁ = 2r

Подставляем это в уравнение отношения диагоналей:

2r/d₂ = 3/4

Теперь можем решить это уравнение относительно радиуса r:

2r = (3/4)d₂

r = (3/4)d₂ / 2

r = (3/8)d₂

В нашем случае, одна из диагоналей ромба равна стороне, то есть d₂ = 25. Подставляем это значение:

r = (3/8) * 25

r = 75/8

r ≈ 9.375

Таким образом, радиус вписанной окружности составляет примерно 9.375.